Moti gravitazionali in una dimensione. (Q1455946)

Verf. untersucht die Bewegung einer eindimensionalen Massenverteilung (auf der \(x\)-Achse) unter dem Einfluß ihrer eigenen Gravitationskräfte. Sind \(x_0\), \(\mu_0\) die Anfangskoordinate und -dichte eines Partikels, so sind \(x(t,x_0)\) und \(\mu(t,x_0)\) zu bestimmen. Es gilt neben der Newtonschen Bewegungsgleichung die Poissonsche Gleichung, die den Wert der Attraktion \(a(t,x)\) liefert, und die Kontinuitätsgleichung \(\mu\dfrac{\partial x} {\partial x_0}=\mu_0\); hiernach ist \(\mu\) nur solange regulär, als \(\dfrac{\partial x}{\partial x_0}\neq 0\) ist. Nach Ausführung der Integration findet sich: \[ \frac{\partial x}{\partial x_0}=1+v_0^{\prime}t-2\pi f \mu_0 t^2, \] wo \(v_0\) die Anfangsgeschwindigkeit, \(f\) die Gaußsche Konstante ist. Es gibt also einen Wert von \(t>0\), in dem die Regularität von \(\mu\) aufhört, d. h. ein Zerreißen der Materie eintritt. Verf. untersucht dann, welches die Abszissen sind, an denen dies Zerreißen zuerst stattfindet; im Falle \(v_0^{\prime\prime}=0\) finden sich hierfür die Stellen maximaler Anfangsdichte. Ist die Masse \(m\) auf ein endliches Intervall verteilt, so zieht sich dieses nach dem Gesetz \(s=s_0 + w_0t - 2\pi fmt^2\) zusammen.