Sur les formules fondamentales de l'électromagnétisme et de la gravifique. IV. (Q1456455)

Diese Mitteilung beabsichtigt nicht, eine Anzahl neuer Resultate abzuleiten, sondern ist vielmehr bestrebt, begrifflich und formal bekannte Fundamentalgesetze der Dynamik und der Theorie des Elektromagnetismus in die neuartigen Hilfsmittel und Methoden invarianter tensorieller geometrischer Betrachtungen und Methoden, wie sie die Relativitätstheorie entwickelt hat, ``einzukleiden''. Damit war Verf. einem Zeitbedürfnis entgegengekommen, ähnlich wie (in einem erheblich breiteren Rahmen) in vorbildlicher Weise \textit{E. Cartan} in einer Reihe von Abhandlungen vorgegangen ist (1923, 1924, 1925; F. d. M. 49, 542 (JFM 49.0542.*); 51, 581-583). In Kap. I unterscheidet Verf. Formeln von Stokesschem und Antistokesschem Typus. Zum Stokesschen Typus gehört z. B. das Verschwinden von Funktionaldeterminanten, zum Antistokesschen Typen wie: \[ \sum_j\bigg(\frac{\partial B}{\partial x_j}\cdot \frac{\partial C}{\partial y_j}-\frac{\partial B}{\partial y_j}\cdot \frac{\partial C}{\partial x_j}\bigg)=0. \] Willkürliche Wahl von \(C\) führt zu den kanonischen Differentialgleichungen: \[ \frac{dx_j}{dt}=\frac{\partial C}{\partial y_j},\, \frac{dy_j}{dt}=-\frac{\partial C}{\partial x_j}. \] Unter diesem Gesichtspunkt diskutiert Verf. die Klammerbildungen von Poisson und Lagrange, kanonische Transformationen und verwandte Probleme der klassischen und Himmelsmechanik. Dabei erscheinen die Attribute ``stokien'' und ``antistokien'' als Analoga zur Terminologie ``kovariant'' und ``kontravariant'' im Tensorkalkül. Anschließend werden Bildungen der Form \[ \begin{vmatrix} \dfrac{\partial}{\partial x_\mu}&\dfrac{\partial}{\partial x_\nu}& \dfrac{\partial}{\partial x_\sigma}\\ \dfrac{\partial}{\partial x_\mu}&\dfrac{\partial}{\partial x_\nu}& \dfrac{\partial}{\partial x_\sigma}\\ \varGamma_{\lambda\mu}^\varrho&\varGamma_{\lambda\nu}^\varrho& \varGamma_{\lambda\sigma}^\varrho\end{vmatrix} \] betrachtet, womit ohne besondere Voraussetzungen über die Größen \(\varGamma_{\lambda\mu}^\sigma\) ein bemerkenswert kurzer Zugang zu den Einsteinschen Divergenzidentitäten wie auch zu Analogien mit verallgemeinerten Maxwell-Lorentzschen Gleichungen gegeben ist. (Vgl. Teil III dieser Arbeit: Annales Toulouse (3) 12 (1921), 1-35). Im zweiten Kapitel treten geometrische Mittel in den Vordergrund. Verf. gibt einen kurzen Abriß der Riemannschen Geometrie. Durch Annahme einer geeigneten Einbettung der in Rede stehenden Mannigfaltigkeit können auch Begriffe wie sphärische Abbildungen, Formeln von Weingarten, Codazzi, Gauß häufig unter Spezialisierung der Dimensionszahl auf die der Flächentheorie in die Darstellung einbezogen werden. Soweit als möglich werden dabei stets formale Quellen von Stokesschem Typus herausgesucht, ein Verfahren, das manche ``elektromagnetische'' Parallele erkennen läßt, jedoch der Herrschaft des Übertragungsprinzips mit seinen charakteristischen Dreizeigersymbolen angepaßt werden muß (Levi-Civitas Parallelverschiebung).