The group of motions of an Einstein space. (Q1456456)

Verf. untersucht, in welchem Ausmaße die vierdimensionale Welt \(V_4\) der allgemeinen Relativitätstheorie durch die Gruppe ihrer Bewegungen, d. h. der Transformationen, die das \(ds^2\) ungeändert lassen, bestimmt wird, und behandelt im Zusammenhang damit die Frage nach der Klasse der \(V_4\). Eine \(V_n\) heißt dabei (nach \textit{Ricci}) von der Klasse \(k\), wenn sie in einen ebenen Raum von \(n+k\), aber nicht in einen von weniger Dimensionen eingebettet werden kann. Es seien \(t\) die Zeitkoordinate, \(x_1\), \(x_2\), \(x_3\) die räumlichen Koordinaten der \(V_4\). Es wird zunächst gezeigt, daß die \(V_4\) dann und nur dann statisch (stationär) ist, wenn sie die Gruppe \(Uf=\dfrac{\partial f}{\partial t}\) zuläßt, und ein allgemeiner Satz über die \(V_4\) aufgestellt, die eine Gruppe \(Uf=\xi^1\dfrac{\partial f}{\partial x_1}+ \xi^2\dfrac{\partial f}{\partial x_2}+\xi^3\dfrac{\partial f}{\partial x_3}\) gestatten. Hierauf beweist Verf., daß die allgemeine \(V_4\) dann und nur dann kugelsymmetrisch ist, d. h. durch Einführung räumlicher Polarkoordinaten \(r\), \(\vartheta\), \(\varphi\) auf die Gestalt \[ \displaylines{\rlap{\qquad(\text{a})} \hfill -ds^2=\varphi_2(r,t)\,dr^2+\varphi_3(r,t)\,(d\vartheta^2+ \sin^2\vartheta\,d\varphi^2)-\varphi_1(r,t)\,dt^2 \hfill} \] gebracht werden kann, wenn sie die Gruppe \(G_3\) der ``Rotationen'' \(x_i\dfrac{\partial f}{\partial x^k}-x_k\dfrac{\partial f}{\partial x^i}\)\,(\(i\), \(k=1\), 2, 3) als vollständige Bewegungsgruppe zuläßt; ferner gibt er die notwendigen und hinreichenden Bedingungen dafür an, daß die kugelsymmetrische \(V_4\) auf die statische Form reduzibel ist, und untersucht anschließend die wichtigsten speziellen kugelsymmetrischen \(V_4\) nach ihren Gruppeneigenschaften und den Hauptkrümmungen ihrer Koordinaten-\(V_3\) \(t=0\); \(\varphi=0\); \(\vartheta=0\). Zur Frage nach der Klasse der \(V_4\) übergehend, beweist er weiter, daß die kugelsymmetrische \(V_4\) von der Klasse Zwei ist, und stellt die notwendigen und hinreichenden Bedingungen dafür auf, daß sie die Klasse Eins besitzt. Endlich zeigt er, daß die allgemeine \(V_4\), deren Maximalklasse bekanntlich Sechs ist, die Klasse Fünf (Drei) hat, wenn sie bezüglich eine der Abelsehen Gruppen \(\dfrac{\partial f}{\partial t}\bigg(\dfrac{\partial f}{\partial t},\dfrac{\partial f}{\partial x_3}\bigg)\) als vollständige Bewegungsgruppe zuläßt. (IV 8.)