An algebraic solution of the Einstein equations. (Q1456462)

Es handelt sich um Lösungen der Einsteinschen Gravitationsgleichungen \[ R_{ik}-\scriptstyle\frac{1}{4}\displaystyle Rg_{ik}=0, \] welche (bis auf eine homothetische Transformation) im wesentlichen durch die algebraische Metrik \[ ds^2=x_1^{-2}(dx_1^2+dx_2^2)+x_3^{-2}(dx_3^2+dx_4^2) \] gekennzeichnet sind. Zwei fünfdimensionale Zylinder im euklidischen sechsdimensionalen Raum der Koordinaten \(X_1\), \(X_2\), \(X_3\), \(X_4\), \(X_5\), \(X_6\) \[ X_1^2+X_2^2+X_3^2=1,\;X_4^2+X_5^2+X_6^2=1 \] schneiden sich in einer vierdimensionalen algebraischen Mannigfaltigkeit, deren Bogenelement zu den von Verf. für die Gravitationsgleichungen abgeleiteten Lösungen gehört. Umgekehrt ist jeder vierdimensionale Schnitt zweier fünfdimensionaler ``Zylinder'' \[ F(X_1,X_2,X_3)=0,\;G(X_4,X_5,X_6)=0 \] eine vierdimensionale Mannigfaltigkeit, deren quaternäre quadratische Fundamentalform sich als Summe zweier unabhängiger binärer Formen schreiben läßt. Diese Separierbarkeit -- wesentliche Voraussetzung der ganzen Betrachtung -- untersucht Verf. anschließend für quadratische Differentialformen von \(n\) Variablen. Eine solche ist vom Typus (\(h_1\), \(h_2\),\dots,\(h_r\)), wenn sie als Summe von \(r\) Formen geschrieben werden kann, deren jede \(h_1\) bzw. \(h_2 \cdots\) bzw. \(h_r\) Variable enthält und nur diese: \(h_1+h_2+\cdots+h_r=n\). Eine separable Einsteinsche Metrik ist entweder vom euklidischen oder vom hier betrachteten Typus: (1, 1, 1, 1) bzw. (2, 2).