Time-relations in meteorological effects on the sea. (Q1456910)

Verf. betrachtet die Flüssigkeitsbewegung in einem ebenen Bassin, begrenzt von \(x = 0\), \(x = l\), \(z = - h\) mit der mittleren freien Oberfläche \(z = 0\). Die Strömung (parallel zur \(x\)-Achse) heiße \(u\), die Erhebung der mittleren Oberfläche \(\zeta\). Es entsteht dann für die dynamische Gleichung \[ \frac{\partial u}{\partial t} = - g\frac{\partial}{\partial x} (\zeta - \overline{\zeta}) + \frac{\partial}{\partial z} \left(\mu\frac{du}{dz}\right) \] und die Kontinuitätsgleichung \[ \frac{\partial}{\partial x}\int\limits_{-h}^0 udz + \frac{\partial\zeta}{\partial t} = 0 \] eine Randwertaufgabe: \[ \begin{gathered} u = 0 \quad \text{für} \quad x=0, \;x=l, \;z=-h, \\ \dfrac{\partial u}{\partial t} = \text{ vorgeschriebene Funktion für } z=0 \text{ (Einfluß des Windes)}; \end{gathered} \] \(-g\varrho\overline{\zeta}\) soll der variable Teil des Luftdrucks sein, \(\varrho\) die Dichte des Wassers, \(\varrho\mu\dfrac{\partial u}{\partial t}\) die von oben nach unten im Wasser ausgeübte Reibungskraft pro Flächeneinheit, \(\mu\) soll konstant sein (in der Arbeit von \textit{J. Proudmann} (F. d. M. 51, 341 (JFM 51.0341.*)) wird \(\mu\) als variabel vorausgesetzt). Ausgegangen wird von der atmosphärischen Störung \[ l\overline{\zeta} = - P \cos\, lx, \quad \frac{\mu}{gh}\frac{du}{dz} = W \sin\, lx \] (\(P\) und \(W\) konstant); der allgemeine Fall wird als eine integrale Übereinanderlagerung dieser Spezialfälle angesehen. Das Fehlen atmosphärischer Störungen führt auf eine Sturm-Liouvillesche Gleichung (siehe auch oben genannte Arbeit) mit der ``allgemeinen'' Lösung \[ \begin{gathered} l\zeta = \cos\, lx \sum C_s e^{-\lambda_s\mu t/h^2}, \\ \frac{\mu}{gh^2}u = \sin lx \sum C_sv_s(z) e^{-\lambda_s\mu t/h^2}, \end{gathered} \] mit \[ \text{tg }\sqrt{\lambda} = \sqrt{\lambda} + \frac{\mu^2}{gl^2h^5}\sqrt{\lambda^5} \;\text{ und } \;v(z) = \frac{1}{\lambda}\left(\frac{\text{tg }\sqrt{\lambda}}{\lambda} - 1\right). \] Aus diesem Ergebnis läßt sich leicht das für den Fall der Wirksamkeit obengenannter atmosphärischer Störung ableiten. Die erhaltenen Formeln werden numerisch ausgewertet. (IV 10.)