Über die Bausteine der mathematischen Logik. (Q1457162)

Diese Untersuchung knüpft an die Bemerkung von \textit{H. M. Sheffer} [Trans. Am. Math. Soc. 14, 481--488 (1913; JFM 44.0076.01)] an, wonach die Aussagenverknüpfungen sich alle durch eine einzige \(a\mid b\), d. h. ``\(a\) nicht oder \(b\) nicht'' darstellen lassen. Verf. bemerkt zunächst, daß\ bei Hinzunahme der Individuenvariablen alle Beziehungen sich ebenfalls auf eine einzige \[ f(x) \overset{x} \mid g(x) \] mit der Bedeutung \[ (x)[f(x)\mid g(x)] \] zurückführen lassen. Diese Verknüpfung als Beziehung von \(f\) und \(g\) (Unverträglichkeitsfunktion) \[ U(f,g)=fx \overset{x} \mid gx \] aufgefaßt, veranlaßt nun den Verf. eine neue Darstellung derjenigen Formeln der Logik zu suchen, in denen alle Variablen (sowohl Individuenvariablen wie Prädikatenvariablen) gebunden sind. (Dies ist natürlich nur bei Formeln der zweiten Stufe wie z. B. \((f)\) \((Eg)\) \(((x) f(x)| g(\overset{x}{x}))\) möglich.) Das Ziel dieser Darstellung ist, daß\ die gebundenen Variablen, von denen ja der Sinn des logischen Ausdrucks gar nicht abhängt, entfernt werden sollen. Dies gelingt dem Verf., indem er zu der Unverträglichkeitsfunktion als einziger logischer Funktion gewisse spezielle Funktionenfunktionen von ganz allgemeinem formalem Charakter hinzunimmt: 1. die Identitätsfunktion, die jedem Ding (einer Gattung) dasselbe Ding zuordnet, 2. die Konstanzfunktion, die allen Dingen ein und dasselbe feste Ding zuordnet, 3. die ``Vertauschungsfunktion'', 4. die ``Zusammensetzungsfunktion'', 5. die ``Verschmelzungsfunktion''. Die Einführung dieser Funktionen ermöglicht es, die Betrachtung zweier oder mehrerer Argumente auf die Betrachtung eines Argumentes zurückzuführen. Verf. zeigt, daß\ die fünf genannten Funktionen sich durch zwei von ihnen, nämlich die Konstanzfunction und die Verschmelzungsfunktion ausdrücken lassen. Was die Bedeutung der Betrachtung betrifft, so ist es zwar fraglich, ob die hier gegebene Darstellung der logischen Formeln für die Zwecke der Logik fruchtbar ist, hingegen ist die Betrachtung der fünf Funktionen universellen Charakters von allgemein mathematischer Bedeutung für die Systematisierung der Funktionsbildung.