On the location of the roots of polynomials. (Q1457237)

Das Hauptresultat der vorliegenden Arbeit lautet folgendermaßen: Das Polynom \[ \sum_{\nu=0}^n {n \choose \nu} \nu ! a_\nu z^{n-\nu} \] habe lauter reelle Nullstellen. Die voneinander verschiedenen komplexen Zahlen \(\alpha_1,\alpha_2,\dots,\alpha_k\) mögen auf einer Parallelen zur reellen Achse liegen und \(C_1,C_2,\dots,C_k\) seien Kreise um diese Punkte vom konstanten Radius \(r\). Schließlich seien \(n_1,n_2,\dots,n_k\) positive Zahlen von der Summe \(n\). Wir betrachten die Gesamtheit aller Polynome \(n\)-ten Grades \(F(z)\), welche in \(C_\nu\) genau \(n_\nu\) Nullstellen haben (\(\nu=1,2,\dots,k)\). Zu jedem solchen \(f(z)\) sei \[ a_0f(z)+a_1f'(z)+a_2f''(z)+\cdots +a_nf^{(n)}(z) = F(z) \] zugeordnet. Wir bezeichnen mit \(F_0(z)\) das \(f_0(z)=(z- \alpha_1)^{n_1} (z-\alpha_2)^{n_2} \dots\) zugeordnete Polynom und es seien \(C_j'\) die um die Nullstellen von \(F_0(z)\) (Vielfachheit \(n_j'\)) mit dem konstanten Radius \(r\) gezeichneten Kreise. Dann erscheinen die Kreise \(C_j'\), sobald \(r\) klein genug ist, als die geometrischen Orte der Nullstellen von \(F(z)\). Wenn ein Kreis \(C_j'\) mit der anderen \(C_h'\) keine gemeinsamen Punkte hat, so enthält \(C_j'\) \textit{genau} \(n_j'\) Nullstellen von \(F(z)\).