Über die Gruppen \(A^aB^b = 1\). (Q1457314)

Es werden über solche Gruppen \({\mathfrak G}={\mathfrak G}_{ab}\) Sätze bewiesen, die u. a. nach dem Vorbilde von Dehn (Math. Ann. 75, 402) bei der Untersuchung der Knotenlinien auf dem Torus anwendbar sind, da deren Fundamentalgruppen stets von der obigen Beschaffenheit (s. Titel) sind; man kann o. E. d. A. \(a > 1\), \(b > 1\) annehmen. Es sei \(\mathfrak Z\) die \(A^a\) erzeugte Untergruppe, die ein Normalteiler von \(\mathfrak G\) ist; setzt man \({\mathfrak F}={\mathfrak G}/{\mathfrak Z}\), so kann \(\mathfrak F\) durch \(A={\mathfrak Z}A, B={\mathfrak Z}B\) erzeugt werden und ist durch \(A^a=B^b=1\) definiert; außer 1 existiert in \(\mathfrak F\) kein invariantes Element, und jedes Element endlicher Ordnung in \(A\) läßt sich in eine Potenz von \(A\) oder \(B\) transformieren. Die Zahlen \(a,b\) sind durch \(\mathfrak G\) bis auf die Reihenfolge eindeutig bestimmt. Es lassen sich sämtliche Automorphismen von \(\mathfrak F\) und \(\mathfrak G\) explizit angeben. ``Die Automorphismengruppe von \(\mathfrak G\) ist für \(a \neq b\) einstufig isomorph mit der durch \(I, J, K\) erzeugten und durch \(I^a=1,J^b=1,K^2=1,(KI)^2=1,(KJ)^2=1\) definierten abstrakten Gruppe; für \(a=b\) kommt noch eine Erzeugende \(L\) hinzu mit \(L^2=1,KL=LK,LI=JL\).''