Untersuchungen über das Siebverfahren des Eratrosthenes. (Q1457349)

Diese Arbeit stellt einen ziemlich ausführlichen Bericht über die Arbeiten des Verf. (vor allem ``Le crible d'Eratosthène et le théorème de Goldbach'', Videnskapsselskapets skriften, Kristiania 1920, vgl. F. d. M. 47, 162 (JFM 47.0162.*)) und einige daran anknüpfende Untersuchungen an. Der Übergang von einer Legendreschen Formel zu der für die Brunsche Methode charakteristischen Abschätzung wird durch eine Figur illustiert, aber nicht in den rechnerischen Details verfolgt. Erwähnt werden die beiden Hauptresultate der Brunschen Untersuchungen: ``Jede hinreichend große gerade Zahl kann als Summe zweier Zahlen, deren jede höchstens 9 Primfaktoren enthält, dargestellt werden'', und ``Die Reihe der reziproken Zwillingsprimzahlen \[ \frac 15+\frac 17+\frac{1}{11} +\frac{1}{13}+\frac{1}{17} +\frac{1}{19} +\frac{1}{29} +\frac{1}{31}+\cdots \] kann nicht divergieren.'' Am Schluß\ bildet eine Wiedergabe einer neuen Formel des Verf. (Étude directe de la fonction \(f(x)\)) de Riemann, C. R. 177, 810, 1923; F. d. M. 49, 121 (JFM 49.0121.*)), die mit dem Siebverfahren allerdings wenig zu tun hat, aber an die Legendresche Formel erinnert. Sei \[ f(x)=\pi(x)+\frac 12 \pi(\sqrt x)+\frac 13 \pi (\sqrt x)+\cdots, \] dann ist \[ f(x)=\{x\}-\frac 12 \sum_{n=2}^\infty \left\{ \frac xn \right\} +\frac 12 \sum_{n=2}^\infty \sum_{m=2}^\infty \left\{ \frac{x}{n \cdot m} \right\} - \frac 14 \sum_{n=2}^\infty \sum_{m=2}^\infty \sum_{r=2}^\infty \left\{ \frac{x}{nmr} \right\} +\cdots, \] wo \(\{x\}\) die Anzahl der ganzen Zahlen \(i\) mit \(2 \leqq i \leqq x\) bedeutet. Der elementare Beweis dieser Formel fußt auf kombinatorischen Überlegungen, die z. T. auf Möbius zurückgehen.