Arithmetische Eigenschaften der Polynomialkoeffizienten. (Q1457362)

Es sei \(p\) eine beliebige Primzahl und \[ m=m_ip^i+m_{i+1}p^{i+1}+\cdots +m_rp^r \] die reduzierte \(p\)- adische Darstellung einer ganzen positiven Zahl \(m\) im \(p\)- adischen Zahlsystem, also \(0 \leqq m_h <p\); das Anfangsglied \(m_ip^i\) kann dann mod \(p^{i+1}\) auch so geschrieben werden: \[ m_ip^i=\frac{P_m}{P_{m-1}} \cdot (-p) \frac{s_{m-1}-s_m+1}{p- 1} +\cdots; \] \[ P_m=m_i!m_{i+1}! \cdots m_r!; \;s_m=m_i+m_{i+1}+\cdots+m_r, \] während \(P_{m-1}\) und \(s_{m-1}\) die entsprechende Bedeutung für \(m-1=(p - 1)+(p-1)p+\cdots+(p- 1)p^{i-1} +(m_i-1)p_i +m_{i+1}p^{i+1}+\cdots\) haben. Hieraus lassen sich verschiedene Teilbarkeitseigenschaften von \(m!\) und allgemeiner \({m \choose a,\dots,d}=\frac{m!}{a! \dots d!}, a+\cdots+d=m\) direkt ableiten, u.a. die Ganzzahligkeit der letzteren Polynomialkoeffizienten rein arithmetisch beweisen.