Note sur une identite dans la théorie des congruences supérieures. (Q1457368)

Es bezeichne \(Z(c_1,\dots,c_q)\) die aus \(c,\dots,c_q\) gebildete zyklische Determinante, \(f(x)=a_0x^m+a_1x^{m-1}+\cdots+a_m\); \(p\) sei Primzahl, \(n\) eine beliebige natürliche Zahl, \(\delta=(n,p- 1)\); \(C_i=a_{m-1}+a_{m-i-\frac{p-i}{\delta}} + a_{m-i-2 \frac{p- 1}{\delta}}+\cdots\). Alsdann gilt die Kongruenz: \[ f(1^n)\cdot f(2^n) \dots f((p-1)^n) \equiv \left[ Z \left( C_0,C_1,\dots,C_{\frac{p-1}{\delta}} \right) \right]^\delta \;(\text{mod }p). \] Für \(f(x)=x-d\) findet man so einen von Rades (Palermo Rend. 46, 308-314; 1922) gegebenen Spezialfall auf einfacherem Wege wieder.