Representations of integers in certain binary, ternary, quaternary and quinary quadratic forms and allied class number relations. (Q1457397)

Wird eine reine quadratische Form \[ F(x_\kappa,y_\lambda)=a_1x_1^2 +\cdots +a_\mu x_\mu^2+b_1y_1^2 +\cdots +b_\nu y_\nu^2=A(x_\kappa) +B(y_\lambda) \] mit ganzzahligen positiven Koeffizienten \(a_\kappa, b_\lambda\) in zwei Teile \(A\) und \(B\) aufgespalten, so gilt für die Anzahlen \(N_F(k), N_A(k), N_B(k)\) der Darstellungen einer ganzen Zahl \(k\) durch die Formen \(F, A, B\) die Relation \[ N_F(k)=\sum_{h=0}^k N_A(h) N_B(k-h). \] Die Anwendung dieses Gedankens auf spezielle \textit{ternäre} Formen \(F\) führt zu Klassenzahlformeln für binäre quadratische Formen negativer Diskriminante. Einerseits hängt nämlich \(N_F(k)\) für spezielle ternäre \(F\) mit der Klassenzahl binärer quadratischer Formen einer der Diskriminanten \(-k,-(4k+1),- (4k+2),-(8k+3),-\frac 14k\) zusammen, während andererseits für deren binäre Teile \(A\) sich \(N_A(h)\) als elementare zahlentheoretische Funktion von \(h\) darstellen läßt, wenn \(A\) die Hauptform einer Diskriminante mit einklassigen Geschlechtern ist. Für spezielle \textit{quinäre} Formen \(F\) resultieren durch Aufspalten in ternäres \(A\) und binäres \(B\) auf demselben Wege Relationen, in denen die Klassenzahlen binärer quadratischer Formen negativer Diskriminante nicht explizit (links), sondern unter dem Summenzeichen (rechts) auftreten. Diese Klassenzahlrelationen stellen gegenüber den bekannten, aus der Transformationstheorie der elliptischen Modulfunktionen entspringenden, einen neuen Typus dar. Ein Zusammenhang seiner Relationen mit den letzteren scheint dem Verfasser, wenn überhaupt vorhanden, dann jedenfalls nicht auf der Hand liegend.