Über die Erweiterung des Körpers der \(p\)-adischen Zahlen zu einem algebraisch abgeschlossenen Körper. (Q1457434)

Es wird auf folgende Weise ein kleinster algebraisch abgeschlossener Erweiterungskörper \(\overline{\mathfrak K}\) zum Körper \(K(p)\) der rationalen \(p\)-adischen Zahlen konstruiert, der zugleich den Körper \(\overline{K}\) aller gewöhnlichen algebraischen Zahlen als Teilkörper enthält: Ist \(\alpha_i\) eine derartige Folge algebraischer Zahlen, daß\ 1.) die Körper \(K(\alpha_i)\) Galoissch sind, 2.) \(K(\alpha_i)\) Teilkörper von \(K(\alpha_{i+1})\) ist 3.) jede algebraische Zahl \(\omega\) in einem \(K(\alpha_i)\) vorkommt, ist ferner \({\mathfrak P}_i\) eine derartige Folge von Primidealteilern von \(p\) in den \(K(\alpha_i)\), daß\ \({\mathfrak P}_{i+1}\) Teiler von \({\mathfrak P}_i\) ist, so wird als Bewertung \(\| \omega \| \) einer algebraischen Zahl \(\omega \neq 0\) aus \(K(\alpha_i)\) die (von \(i\) unabhängige) Zahl \(e^{-\frac{a_1}{e_i}}\) definiert, wenn \(\omega\) genau durch \({\mathfrak P}_1^{a_i},p\) genau durch \({\mathfrak P}_i^{e_i}\) teilbar ist. Der zu dieser Bewertung von \(\overline{K}\) gehörige derivierte Körper \(\mathfrak K\) von \(\overline{K}\) (bestehend aus den Fundamentalreihen aus \(\overline{K}\) bezüglich dieser Bewertung) enthält \(\overline{K}\) und \(K(p)\) als Teilkörper, und die Gesamtheit seiner in bezug auf \(K(p)\) algebraischen Elemente bildet den zu konstruierenden Körper \(\overline{\mathfrak K}\).