Bemerkungen zu der vorstehenden Abhandlung von Herrn Franel. (Q1457443)

Sind \(\varrho_1,\varrho_2,\dots,\varrho_A\) die nach ihrer Größe geordneten Brüche der Fareyreihe \(n\)-ter Ordnung, also \(A=\sum_{k=1}^n \varphi(k)\), so beweist Franel folgenden Satz: Die Riemannsche Vermutung ist äquivalent mit der Aussage \[ (1)\quad \sum_{\nu=1}^A \left( \varrho_\nu-\frac \nu A \right)^2 = O(n^{-1+varepsilon}). \] Der Beweis besteht in einer Zurückführung auf den Satz von Littlewood, nach welchem die Relation \[ (2)\quad M(n)=\sum_{r=1}^n \mu(r)=O(n^{\frac 12+\varepsilon}) \] mit der Riemannschen Hypothese äquivalent ist. Landau zeigt beiläufig, daß\ aus den von Franel in seinem Beweis aufgestellten Identitäten trivial statt (1) (ohne Hypothese) \[ \sum_{\nu=1}^A \left( \varrho_\nu-\frac \nu A \right)^2=O(1) \] folgt, so daß\ also (1) demgegenüber eine gleichmäßigere Verteilung der \(A\) Fareybrüche auf das Intervall 0 bis 1 behauptet. Vor allem aber stellt Landau noch einige andere Relationen über die Fareybruche auf, die mit (1) und (2) und also mit der Riemannschen Vermutung äquivalent sind, und zwar \[ (3)\quad \sum \left| \varrho_\nu - \frac \nu A \right| =O(n^{\frac 12+\varepsilon}),\qquad (4)\quad \sum_{\nu=1}^A e^{2\pi i \frac \nu A} \left( \varrho_\nu-\frac \nu A \right) = O(n^{\frac 12+\varepsilon}), \] \[ (5)\quad \sum_{\nu=1}^A \left( \varrho_\nu-\frac \nu A \right)^2 = O^{ \left( n^{-1+\frac{ 21 \log \log \log n}{\log \log n}} \right)},\qquad (6)\quad \sum_{\nu=1}^A \left| \varrho_\nu- \frac \nu A \right| = O^{\left( n^{\frac 12+\frac{11 \log \log \log n}{\log \log n}} \right)}. \] Während (3) und (4) unmittelbar mit (1) und (2) zusammenhängen, wird für (5) und (6) eine Verschärfung von (2), nämlich \[ M(n)=O^{\left( n^{\frac 12+\frac{10 \log \log \log n}{\log \log n}} \right)} \] herangezogen, deren Äquivalenz mit der Riemannschen Vermutung Landau an anderer Stelle beweist (vgl. nachst. Ref.).