Einige Sätze über Kettenbrüche, mit Anwendungen auf die Theorie der Diophantischen Approximationen. (Q1457453)

Der bekannte in der Formel \[ \left| \alpha-\frac pq \right| < \frac{1}{\sqrt 5 q^2} \] enthaltene Satz über die Approximation jeder irrationalen Zahl \(\alpha\) durch rationale Brüche läßt sich bedeutend verschärfen, wenn man nicht alle irrationalen Zahlen \(\alpha\) ins Auge faßt, sondern nur fast alle (im Legesgueschen Sinn). So beweist Verf. den Satz: ``Ist \(f(x)\) eine positive stetige Funktion von \(x(>0)\) und ist \(xf(x)\) monoton abnehmend, so hat die Ungleichung \[ \left| \alpha - \frac pq \right| < \frac{f(q)}{q}, \] falls \(\int^\infty f(x)dx\) divergiert, für fast alle irrationale \(\alpha\) eine unendliche Anzahl ganzzahliger Lösungen \(p, q\). Falls dagegen \(\int^\infty f(x)dx\) konvergiert, hat sie für fast alle irrationalen \(\alpha\) nur endlich viele solche Lösungen.'' Einige weitere Sätze, die ebenfalls für fast alle irrationalen \(\alpha\) gelten gebe Größenabschätzungen für die Teilnenner der regelmäßigen Kettenbruchentwicklung von \(\alpha\).