Über die Dimension von Punktmengen II. (Q1457471)

Die in Teil I dieser Arbeit (ibid. 33, 148-160 (1923), s. F. d. M. 49, 141 (JFM 49.0141.*)) nur für metrische Räume ausgesprochene Definition der Dimension einer Menge wird hier auch für Räume ausgesprochen, in denen Umgebungen eingeführt sind. Sehr leicht beweist sich der Satz, daß\ die Dimension in der neuen Definition invariant gegenüber eineindeutigen stetigen Abbildungen ist. Der Anschluß\ an die grundlegenden Brouwerschen Sätze wird nun durch den tieferliegenden Satz gewonnen, daß\ die \(n\)-dimensionalen Mengen des \(R_n\) identisch mit den Mengen sind, die einen offenen Teil enthalten. Für den Beweis des hierin enthaltenen Satzes, daß\ der \(R_n\) mindestens \(n\)-dimensional ist wird der bemerkenswerte Satz von Lebesgue (Fund. Math. 2 (1921) 274; F. d. M. 48, 652 (JFM 48.0652.*)) benutzt: ``Bei jeder Zerlegung der Begrenzung \(B\) einer kompakten offenen Menge des \(R_n\) in endlich viele hinlänglich kleine abgeschlossene Teilmengen existiert ein Punkt von \(B\), der mindestens \(n\) von diesen Teilmengen gemein ist''. -- Außer den erwähnten Sätzen enthält die Arbeit noch einige Untersuchungen über die Struktur \(n\)-dimensionaler Mengen, z. B. über die Verteilung der höchstens und der mindestens \(k\)-dimensionalen Punkte auf einer beliebigen Menge.