Sur quelques théorèmes qui équivalent à l'axiome du choix. (Q1457482)

Verf. zeigt, daß\ die folgenden sieben Sätze über transfinite Kardinalzahlen dem Auswahlaxiom gleichwertig sind: I. \(\mathfrak {m.n}=\mathfrak m+\mathfrak n\); II. \(\mathfrak m=\mathfrak m^2\); III. wenn \(\mathfrak m^2=\mathfrak n^2\), dann ist \(\mathfrak m=\mathfrak n\); IV. wenn \(\mathfrak m<\mathfrak n\) und \(\mathfrak p<\mathfrak q\), dann ist \(\mathfrak{ m.p}<\mathfrak {n.q}\); V. wenn \(\mathfrak m+\mathfrak p<\mathfrak n+\mathfrak p\), dann ist \(\mathfrak m<\mathfrak n\); V'. wenn \(\mathfrak{ m.p}<\mathfrak {n.p}\), dann ist \(\mathfrak m<\mathfrak n\). Die wesentlichste Rolle bei diesen Überlegungen spielt ein bekanntes Resultat von Hartogs [Math. Ann. 76, 436-443; F. d. M. 45, 125 (JFM 45.0125.*), 1914] und die daraus von Sierpiński [Fund. math. 2, 116-118; F. d. M. 48, 203 (JFM 48.0203.*), 1921] gezogene Folgerung, daß\ (auch ohne Auswahlaxiom) jeder Kardinalzahl \(\mathfrak m\) ein Aleph entspricht, das weder größer noch kleiner als in ist.