Sur les ensembles finis. (Q1457483)

Verf. gibt auf Grund der fünf ersten Zermeloschen Axiome (also ohne Benutzung der Axiome der Auswahl und des Unendlichen) eine detaillierte systematische Theorie der endlichen Mengen (natürlich ohne daß\ hier irgendwie die Arithmetik der natürlichen Zahlen hereinspielt). Den Ausgangspunkt bildet die folgende, neue Definition der endlichen Mengen: Die Menge \(A\) heißt endlich, wenn jede aus Teilmengen von \(A\) bestehende (nicht leere) Klasse \(\mathfrak K\) als Element mindestens eine Menge \(B\) enthält, von der keine echte Teilmenge zu \(\mathfrak K\) gehört. Mittels dieser Definition werden in sorgfältiger Weise die bekannten Sätze über endliche Mengen gewonnen (darunter auch der Auswahlsatz für endlich viele Mengen). Ferner wird gezeigt, daß\ die Definition des Verf völlig gleichwertig ist den älteren Definitionen oder Charakterisierungen der endlichen Mengen von Russell und Whitehead, Sierpiński, Kuratowski, Weber, Stäckel, Zermelo sowie der zweiten von Dedekind gegebenen Definition (``Ein System \(S\) heißt endlich, wenn es sich so in sich selbst abbilden läßt, daß\ kein echter Teil von \(S\) in sich selbst abgebildet wird.'') Dagegen ist es bisher ohne Benutzung des Auswahlaxioms nicht möglich, die erste Definition Dedekinds (Eine Menge ist endlich, wenn sie keiner echten Teilmenge äquivalent ist) als gleichwertig nachzuweisen: Zwar folgt aus des Verf. Definition ein dieser Dedekindschen Definition antsprechender Satz; aber das Umgekehrte ist bisher nicht ohne Auswahlaxiom möglich. Dasselbe gilt auch noch von drei anderen, vom Verf. formulierten Definitionen. (Diese letzten vier Definitionen lassen sich übrigens so anordnen, daß\ jede aus der vorhergehenden folgt, aber bisher nicht ohne Auswahlaxiom umgekehrt.)