Über die Summierbarkeit durch typische Mittel. (Q1457546)

Verf. verallgemeinert einen früheren Konvergenzsatz von ihm (Acta Math. 40, 349; F. d. M. 46, 489 (JFM 46.0489.*), 1916), der sich auf Dirichletsche Reihen bezog und in der analytischen Zahlentheorie Anwendung fand. Es handelt sich um Integrale von der Form \[ (*)\quad \int_0^\infty e^{-tz}dA(t), \] wo \(A(t)\) eine in jedem endlichen Intervalle schwankungsbeschränkte Funktion ist. Wir nennen ein derartiges Integral durch typische Mittel \(k\)-ter Ordnung summierbar, wenn der Grenzwert \[ \lim_{\omega \to \infty} \omega^{-k} \int_0^\omega e^{- tz}(\omega-t)^k dA(t)\;(k \geqq 0) \] existiert. Wir setzen \[ \int_0^\omega (\omega-t)^k dA(t)=A_k(\omega). \] Es gelten dann die folgenden beiden Sätze: I. Es sei \[ A_0(\omega)=A(\omega)=o(e^{\omega c})\;(c>0), \] so ist das Integral \((*)\) in jedem endlichen Gebiet der Halbebene \(\mathfrak R z > c\) gleichmäßig konvergent und definiert eine in dieser Halbebene reguläre Funktion \(G(z)\). Ist \(G(z)\) rechts von einer Strecke der Geraden \(\mathfrak R z=c\) beschränkt, dann konvergiert \((*)\) in jedem Punkte, in dem die auf dieser Strecke fast überall existierende Randfunktion entweder eine Lipschitzbedingung oder irgendeine der üblichen Konvergenzbedingungen einer Fourierschen Reihe erfüllt und zwar konvergiert \((*)\) gleichmäßig auf jeder inneren Teilstrecke einer jeden Strecke, wo diese Bedingungen gleichmäßig erfüllt sind. II. Es sei \(k>0\) und \[ A_k(\omega)=o(e^{\omega c}\omega_k)\;(c>0,k \geqq 0), \] so ist das Integral \((*)\) in jedem endlichen Gebiet der Halbebene \(\mathfrak R z >c\) durch Mittel \(k\)-ter Ordnung gleichmäßig summierbar und definiert eine in dieser Halbebene reguläre Funktion \(G(z)\). Ist die Funktion \(G(z)\) rechts von einer Strecke der Geraden \(\mathfrak R z = c\) beschränkt, dann ist \((\ast)\) auf dieser Strecke fast überall durch Mittel \(k\)-ter Ordnung summierbar. Dies ist namentlich in jedem Stetigkeitspunkte der Randfunktion der Fall. Die Summierbarkeit ist eine gleichmäßige in jedem Intervall, das in einem Stetigkeitsintervall ganz enthalten ist.