Sui massimi e minimi delle funzioni di due variabili. (Q1457587)

Es sei \(f(x,y)\) eine (reelle) Funktion der beiden reellen Variablen \(x,y\), deren Ableitungen bis zur \(n\)-ten Ordnung einschließlich existieren mögen, und es sei \(\varphi_n(x,y)\) das Näherungspolynom \(n\)-ter Ordnung in der Entwicklung von \(f(x,y)\) nach den Potenzen der Variablen. Verf. bemerkt, daß\ bei hinreichend hohem \(n\) die Funktionen \(f\) und \(\varphi_n\) gleichzeitig in \(x=y=0\) ein Extremum haben, bzw. keins aufweisen. Bei der Untersuchung der Extremumbedingungen im Nullpunkte kann man also \(f\) durch \(\varphi_n\) ersetzen und so das Problem algebraisieren. Wie das Gegenbeispiel: \(f(x,y)=e^{-\frac{1}{x^2}- \frac{1}{y^2}};\varphi_n(x,y)\equiv 0\) zeigt, dürfte diese Behauptung nicht ohne weiteres zutreffen.