Sur l'integration des séries. (Q1457610)

Die gliedweise Integration einer unendlichen Reihe ist erlaubt, wenn das Integral über den Rest gegen 0 strebt, wenn dessen Index wächst. Das ist aber nicht nur im Falle gleichmäßiger Konvergenz erlaubt, sondern auch in den folgenden Fällen. \(S(x)=\sum u_n(x)\) sei in \(a \leqq x <b\) konvergent (\(b\) darf \(=+\infty\) sein) und erfülle die drei Bedingungen: (1) \(\int_a^b S(x)dx\) existiert. (2) Jedes der Integrale \(\int_a^b u_n(x)dx\) existiert. (3) \(\sum u_n(x)\) ist für jedes \(c\) mit \(a<c<b\) gleichmäßig konvergent in \(a \leqq x \leqq c\). Dann gelten Sätze wie diese: I. Gibt es ein \(N\) und \(X\), so daß\ \(u_n(x) \geqq 0\) ist für \(n > N\) und \(b > x > X\) \((a < X < b)\), so ist gliedweise Integration erlaubt. II. Läßt sich zu \(S\) eine Majorante \(S'\) angeben, die gliedweis integriert werden darf, so darf es auch \(S\). III. Wenn \(\sum | v_n(x)| \) den obigen Bedingungen (1)-(3) genügt, so darf \(\sum v_n(x)\) gliedweis integriert werden; -- und zwei weitere, etwas umständlichere Sätze. An bekannten Beispielen, bei denen nicht gliedweis integriert werden darf, wird gezeigt, daß\ hier auch die Bedingungen der fünf Theoreme nicht erfüllt sind.