Neuere Untersuchungen über Funktionen reeller Veränderlichen. Nach den Referaten von L. Zoretti, P. Montel und M. Fréchet. (Q1457614)

\textit{Inhaltsübersicht}. II C 9 a. Die Punktmengen. Nach dem französischen Artikel von L. Zoretti in Caen bearbeitet von A. Rosenthal in Heidelberg. Allgemeines. 1. Einleitung. 2. Die Anwendungen der Mengenlehre. Grundlegende Eigenschaften der Punktmengen. 3. Lineare Mengen. Definitionen. 4. Die Ableitungen einer Punktmenge. 5. Der Cantor-Bendixsonsche Satz. 6. Nicht abgeschlossene Mengen. 7. Mächtigkeit der Punktmengen. 8. Die abgeschlossenen und die offenen Mengen. 9. Der Borelsche Überdeckungssatz und seine Verallgemeinerungen. 9 a. Die Mengen erster und zweiter Kategorie. 9 b. Die Borelschen Mengen. Die Struktur der abgeschlossenen Mengen. 10. Einteilung der abgeschlossenen Mengen. 10 a. Die Struktur der allgemeinsten abgeschlossenen Mengen. 11. Flächenhafte Kontinua. 12. Linienhafte Kontinua. 13. Die Begrenzung eines ebenen Gebietes. 13 a. Die Begrenzung eines \(n\)-dimensionalen Gebietes. 14. Punkthafte Mengen. 15. Mengen, die von einem Parameter abhängen. Korrespondenzen zwischen Bereichen von \(m\) und \(n\) Dimensionen. 16. Die Mächtigkeit des \(n\)-dimensionalen Kontinuums. Peanokurven. 17. Die Invarianz der Dimensionszahl bei umkehrbar eindeutigen und stetigen Transformationen. 17 a. Die übrigen Invarianten der umkehrbar eindeutigen und stetigen Transformationen. 17 b. Sonstige Untersuchungen über umkehrbar eindeutige und stetige Transformationen. Der Inhalt der Punktmengen. 18. Die Cantorsche Inhaltsdefinition. 19. Der Jordansche Inhalt. 20. Das Borelsche und das Lebesguesche Maß. 20 a. Spezielle Sätze über Inhalt u. Maß. 20 b. Carathéodorys Meßbarkeitstheorie. 20 c. Das \(m\)-dimensionale Maß\ im \(n\)-dimensionalen Raum. Anwendungen der Mengenlehre. 21. Anwendungen auf die allgemeine Funktionenlehre. 22. Anwendungen auf die Theorie der Funktionen reeller Veränderlichen. 23. Anwendungen auf die Theorie der Funktionen komplexer Veränderlichen. 24. Anwendungen auf die Analysis Situs. Verallgemeinerungen. 25. Die Geradenmengen. 26. Die Funktionalrechnung. Allgemeine Raume. 26 a. Raum von unendlich vielen Dimensionen, Funktionenraum und andere spezielle Räume. II C 9 b. Integration und Differentiationen. Nach dem französischen Artikel von P. Montel in Paris, bearbeitet von A. Rosenthal in Heidelberg. Bestimmtes Integral der beschränkten Funktionen einer Veränderlichen. 27. Das Integral nach Cauchy. 28. Das Riemannsche Integral. 29. Das obere und untere Integral nach Darboux. 30. Das Lebesguesche Integral. 31. Geometrische Definition des Integrals. Bestimmtes Integral nicht beschränkter Funktionen. 32. Uneigentliche Integrale. 33. Das Lebesguesche Integral für nicht beschränkte Funktionen. 34. Eigenschaften des Lebesgueschen Integrals. 35. Andere Verallgemeinerungen des Integralbegriffs. 35 a. Integraldefinitionen von W. H. Young, J. Pierpont und F. Biesz. 35 b. Das Borelsche Integral. 35 c. Das Denjoysche Integral. 35 d. Das Stieltjessche Integral. 35 e. Die Hellingerschen Integrale. 35 f. Das Perronsche Integral. Integration von Reihen. 36. Integrierbarkeit der Grenzfunktionen. 37. Gliedweise Integrierbarkeit. Ableitungen und primitive Funktionen. 38. Eigenschaften der vier Derivierten. 39. Eigenschaften der Ableitungen. 40. Existenz der Ableitungen. 40 a. Beziehungen zwischen den vier Derivierten. 41. Integrierbarkeit der Ableitungen und der vier Derivierten. 42. Bestimmung einer Funktion mit Hilfe ihrer Ableitung oder einer ihrer vier Derivierten. 43. Wirkliche Aufsuchung der primitiven Funktion einer gegebenen Derivierten oder einer gegebenen Ableitung. 44. Funktionen, die unbestimmte Integrale sind. 44 a. Allgemeinere Auffassung des unbestimmten Integrals. 44 b. Die approximativen Ableitungen. Integrale und Ableitungen der Funktionen mehrerer Veränderlichen. 45. Meßbare Funktionen. Summierbare Funktionen. Mehrfache Lebesguesche Integrale. 46. Partielle Ableitungen und totales Differential. 47. Die unbestimmten Integrale und ihre Differentiation. 48. Integration partieller Differentialgleichungen. II C 9 c. Funktionenfolgen. Nach dem französischen Artikel von M. Fréchet in Poitiers (jetzt in Straßburg) bearbeitet von A. Rosenthal in Heidelberg. Reihen und Folgen von Funktionen einer Veränderlichen. 49. Gleichmäßig konvergente Reihen von stetigen Funktionen. 49 a. Die Verteilung der Stellen gleichmäßiger und ungleichmäßiger Konvergenz. 49 b. Gleichgradig stetige Funktionenmengen. 50. Der Weierstraßsche Satz. 51. Interpolation. Beste Approximation. 52. Quasi-gleichmäßige Konvergenz. 53. Grenzfunktionen stetiger Funktionen. 54. Die Baireschen Funktionenklassen. 54 a. Klassifikation der Borelschen Mengen und ihre Beziehungen zu den Baireschen Funktionen. 55. Die analytisch darstellbaren Funktionen. 56. Konvergenzcharakter von Folgen meßbarer Funktionen. 57. Konvergenz im Mittel. 57 a. Allgemeine Beziehungen zwischen meßbaren Funktionen und Baireschen Klassen. Reihen und Folgen von Funktionen mehrerer Veränderlichen. 58. Funktionen mehrerer Veränderlichen. Die vorliegenden Referate sollten ursprünglich lediglich eine Übersetzung der bereits 1912 erschienenen Aufsätze von Zoretti, Montel und Fréchet in der französischen Ausgabe der Encyklopädie darstellen. Doch erwiesen sich so umfangreiche Hinzufügungen als notwendig, daß\ die fraglichen Artikel tatsächlich als eine, durch Rücksicht auf den bereits vorhandenen und vorzeitig in den Druck gegebenen Text gehemmte Neubearbeitung des Stoffes anzusehen sind. Das vorausgeschickte ungekürzte Inhaltsverzeichnis gibt nicht entfernt ein Bild von dem tatsächlichen Inhalt des mit ungewöhnlicher Sorgfalt und Sachkenntnis abgefaßten Werkes. Unter den Händen des Verfassers sind die drei Enzyklopädieartikel mit zu den besten und vollständigsten nach einheitlichen Gesichtspunkten geordneten Darstellungen der Theorie geworden. Mehr als 1080 meist längere Fußanmerkungen zeugen von der Fülle und Vollständigkeit der vom Verfasser zusammengetragenen sachlichen und literarischen Einzelheiten. Es ist warm zu begrüßen, daß\ von den vorliegenden wertvollen Artikeln auch eine Sonderausgabe veranstaltet worden ist.