Démonstration d'un théorème sur les fonctions additives d'ensemble. (Q1457636)

Franck beweist -- an Fréchet (vorstehendes Referat) anknüpfend den Satz: \(f\) sei eine absolut-additive Funktion auf einem \(\sigma\)-Körper \(T\). Ist dann \(E\) eine Menge von \(T\) (die nicht ``presque nul'' relativ zu \(f\) ist), so läßt sich \(E\) zerlegen in zwei zu \(T\) gehörende, fremde Teilmengen \(P\) und \(N\), so daß\ \(f\) auf \(P\) monoton positiv, auf \(N\) monoton negativ ist. Bei Sierpiński wird darauf hingewiesen, daß\ dieser Satz sich bereits bei Hahn [Theorie der reellen Funktionen 1921, 404] findet, und zugleich ein neuer Beweis dafür gegeben. Franck wendet den Satz noch an, insbesondere um ein Resultat von Fréchet [Fund. math. 4, 364; bezieht sich auf die totale Variation] und Sierpiński [Fund. math. 3 (1922), 240-246; F. d. M. 48, 279 (JFM 48.0279.*)] so zu verallgemeinern: Eine auf einen \(\sigma\)- Körper \(T\) absolut additive Funktion ohne Unstetigkeit nimmt auf den Mengen von \(T\) alle Zwischenwert zwischen ihren beiden Grenzen an.