Sur les nombres dérivés des fonctions. (Q1457643)

Denjoy [J. de math. (7) 1 (1915), 174-195; F. d. M. 45, 1285 (JFM 45.1285.*)/6] hat für stetige Funktionen zuerst den grundlegenden Satz über die Beziehungen zwischen den vier Derivierten bewiesen: Fast überall sind \(D^+\) und \(D_+\) gleich, wenn sie endlich sind, und ungleich, wenn mindestens eine von ihnen unendlich ist (ebenso für die hinteren Derivierten); \(D^+\) und \(D_-\) (ebenso \(D^-\) und \(D_+\)) sind fast überall gleichzeitig endlich und gleich, oder unendlich und ungleich. Dieser Satz ist von Frau G. Ch. Young [Paris C. R. 162 (1916), 380-382; Proc. London Math. Soc. (2) 15 (1916), 360/384; F. d. M. 46, 384 (JFM 46.0384.*)/5, 387] auf unstetige, meßbare Funktionen verallgemeinert worden. Hier wird dieser Satz für ganz beliebige Funktionen bewiesen (nachdem schon früher Banach [Paris C. R. 173 (1921), 457/9; F. d. M. 48, 271 (JFM 48.0271.*)/2] einen Spezialfall des Satzes [die Stellen mit unendlicher vorderer oder hinterer Ableitung bilden eine Nullmenge] so allgemein bewiesen hatte).