Les fonctions conjuguées et les series de Fourier. (Q1457674)

Bezeichnet \(L^p\) die Klasse der auf \([0, 2\pi]\) samt der \(p (> 1)\)-ten Potenz \(L\)-integrablen Funktionen \(f(x)\), so gelten die folgenden Sätze: Zwei konjugierte trigonometrische Reihen können nur zugleich Fourierreihen von Funktionen der Klasse \(L^p\) sein. Das Integral des Betrages der \(p\)-ten Potenz der \(n\)- ten Teilsumme einer \(L^p\)-Fourierreihe bleibt bei \(n \to \infty\) beschränkt. Setzt man \[ \overline{f}(x)=\frac{1}{2\pi} f(t)\text{cot} \frac{t-x}{2} dt, \] wobei das Integral nach Plessner (bereits im Falle \(p = 1\)) im Cauchyschen Sinn der Hauptwerte fast überall auf \(0 \leqq x \leqq 2\pi\) vorhanden ist, so gilt \[ \int_0^{2\pi} | \overline{f}(x)| ^p dx \leqq M_p \int_0^{2\pi} | f(x)| ^p dx, \] wobei \(M_p\) nur von \(p(>1)\) abhängt. Analoge Sätze gelten für das Intervall \(-\infty < x<+\infty\).