Two notes on the Riemann Zeta-function. (Q1457742)

1. Für den nichttrivialen Restteil \(\chi(x)\) der bekannten zahlentheoretischen Funktion \(\psi(x)=\sum_{n \leqq x} \Lambda(u)\) hat Landau (Acta Math. 35; F. d. M. 43, 331 (JFM 43.0331.*), 1912) eine Abschätzung gegeben, die für \(x \geqq 4, y \geqq \sqrt x \log x\) liefert: \[ (1)\quad \chi(x)=\sum_{| \gamma| <y} \frac{x^\varrho}{\varrho} +O(\sqrt x \log x); \] hier durchläuft \(\varrho=\beta+\gamma i\) die komplexen Wurzeln der \(\zeta\)-Funktion. Unter Voraussetzung der Riemannschen Hypothese \((\beta=\frac 12)\) wird hier für \(\chi(x)\) eine zwar nur noch geringe, dafür aber endgültige Verbesserung gegeben: (1) gilt dann nämlich schon für \(y<\sqrt{x}\). 2. Selbst unter Annahme der Riemannschen Hypothese kann man jetzt über die wachsenden positiven Ordinaten \(\gamma_n\) der komplexen Nullstellen von \(\zeta(s)\) nicht mehr als \[ (2)\quad \gamma_{n+1}-\gamma_n < C(\log \log \gamma_n)^{-1} \;\text{für}\;\gamma_n > e^2 \] angeben; Verf. beweist ohne jede Hypothese, daß \[ (3)\quad \gamma_{n+1}-\gamma_n< C(\log \log \log \gamma_n)^{- 1}\;\text{für}\;\gamma_n > e^{e^2} \] gilt.