On the zeros of the Riemann Zeta-function. (Q1457743)

Unter \(N(T)\) sei, wie üblich, die Anzahl der Nullstellen von \(\zeta(s)\) mit dem Imaginärteil \(\gamma\), \(0 < \gamma \leqq T\) verstanden, eine Nullstelle mit \(\gamma = T\) zähle dabei nur halb; \(N(\sigma, T)\) bedeute das Gleiche bei gegebenem \(\sigma \geqq \frac 12\), mit der Bedingung \(\alpha > \sigma\) für den Realteil \(\alpha\); für \(\sigma > 1\) sei \(f(s) = \log \zeta(s)\) in gewöhnlicher Weise definiert, für wurzelfreies \(t, s = \sigma+ it\), durch analytische Fortsetzung längs der Horizontalen, für nicht wurzelfreies \(t\) durch Mittelbildung bei \(t+\varepsilon\) und \(t-\varepsilon\) mit \(\varepsilon \to 0\). Es wird hier gezeigt, daß\ 1. \(\int_\sigma^1 N(\sigma,T)d \sigma\) und \(\frac{1}{2\pi} \int_0^T \log | \zeta(\sigma+it)| dt\) asymptotisch gleich sind; 2. \(\int_0^T {\mathfrak I}f(\frac 12+it)dt=0(\log T)\); 3. unter Voraussetzung der Riemannschen oder auch nur der Lindelöfschen Hypothese \({\mathfrak I} \log \zeta(\frac 12+iT)\equiv S(t)=)(\log T)\) gilt. Zum Beweise werden zunächst die folgenden Hilfssätze abgeleitet: \[ \int_2^T | \zeta(\sigma+it)| ^2dt=O \left[ T \text{Min}\left(\log T,\frac{1}{\sigma-\frac 12} \right) \right]; \] \[ 2\pi \int_\sigma^1 N(\sigma,T)d \sigma=c(\sigma)+\int_0^T \log | \zeta(\sigma+it)| dt +{\mathfrak I} \int_\sigma^\infty \log \zeta(\sigma+iT) d \sigma, \] \[ \int_0^T {\mathfrak I} \log \zeta(\sigma+it)dt=c'(\sigma)+\int_\sigma^\infty \log | \zeta(\sigma+iT)| d \sigma; \] \[ \int_0^T {\mathfrak I} \zeta(\frac 12+it)=\int_{\frac 12}^2 \log | \zeta(\sigma+iT)| d \sigma+O(1); \] \[ \int_0^1 N(\sigma,T)d \sigma=O(T) \text{ Min }\left( \log_2T,\log \frac{1}{\sigma-\frac 12} \right);\;N(\sigma)T,=O \left( \frac{T}{\sigma-\frac 12} \log \frac{1}{\sigma-\frac 12} \right). \] Unter der Voraussetzung der Lindelöfschen Hypothese wird noch \[ \int_0^T {\mathfrak I} \log \zeta(\frac 12+it)dt=o(T) \] bewiesen, während so durch Cramér (Math. Zschr. 2; F. d. M. 46, 500 (JFM 46.0500.*), 1918) bereits \[ \pi S(t)={\mathfrak I}\log \zeta(\frac 12+iT)=o(T) \] bekannt war; unter Voraussetzung der Riemannschen Hypothese gilt schärfer \[ S(T)=O \left( \frac{\log T}{\log_2T} \right). \]