On the zeros of the Riemann zeta function (Q1457747)

Für die Nullstellenanzahl \(N(T)\) der Riemannschen Zetafunktion in \(0<t<T\) wird \[ \int_0^T \frac{N(t)}{t}\,dt=\frac{T}{2\pi} \log \frac{T}{2\pi} - \frac{T}{2\pi} + \frac 78 \log T+k+O \left( \frac{\log T}{T} \right) \] bewiesen und \(k\) bestimmt. Auch für die Littlewoodsche Formel \[ \int_0^T N(t) \,dt = \frac{T^2}{4\pi} \log \frac{T}{2\pi} - \frac{3T^2}{8\pi} + \frac 78 T+O(\log T) \] geben die Verff. einen Beweis, der gleichfalls die Poisson-Jensensche Formel und die Funktion \(\overset{+}{\log}\) benutzt. Aus dieser Littlewoodschen Formel folgt übrigens die erstere -- allerdings ohne Bestimmung der Konstanten --, wie in der kurzen zweiten Note bemerkt wird. Dort wird auch darauf aufmerksam gemacht, daß der Beweis der ersten Note unter \(N(T)\) die Anzahl der Wurzeln im kritischen Streifen versteht, die von \(\frac 12\) um weniger als \(T\) abstehen. Beide Erklärungen führen aber zur selben Formel, und man kann auch mühelos jede der beiden Beziehungen aus der anderen herleiten.