Sur la définition des fonctions analytiques. (Q1457754)

An die Grundtatsache der Funktionentheorie, daß\ eine analytische Funktion vollständig bestimmt ist, wenn man ihre Entwicklungskoeffizienten an einer regulären Stelle angibt, wird folgende Frage angeknüpft: Inwieweit ist eine in 0 reguläre Funktion schon durch eine Teilfolge ihrer dortigen Entwicklungskoeffizienten im wesentlichen bestimmt. Dabei soll ``im wesentlichen'' heißen, daß\ die Funktionen, deren Entwicklungskoeffizienten an der Stelle 0 in dieser Teilfolge übereinstimmen, sich nur um eine ganze Funktion unterscheiden. Das würde bedeuten, daß\ alle im endlichen gelegenen Singularitäten der Funktion schon durch diese Teilfolge bestimmt sind. Und wenn so etwas möglich ist, entsteht weiter die Frage, ob oder wie die Natur der Teilfolge von der Natur der Singularitäten abhängt. In dieser Richtung wird, allgemein gefaßt, bewiesen. Wenn man entweder den Charakter oder die Verteilung der Singularitäten einer in 0 regulären Funktion gibt, so ist diese ``im wesentlichen schon durch eine Teilfolge ihrer dortigen Entwicklungskoeffizienten bestimmt. Die Natur der hierzu geeigneten Teil folgen (d. h. das Wachstum der sie bestimmenden Indizes) hängt von diesen Singularitäten ab. Von den im einzelnen bewiesenen Sätzen (die sich auf vorangegangene Ergebnisse des Verf. stützen; s. Annales de l'Éc. Norm. 40; F. d. M. 49, 236 (JFM 49.0236.*), 1923) sei der folgende hervorgehoben: Wenn die Menge \(E\) der singulären Punkte einer in 0 regulären Funktion so beschaffen ist, daß\ keine Teilmenge derselben ein nicht beschränktes Kontinuum ist, so ist diese Funktion bis auf eine additiv hinzutretende ganze Funktion schon durch eine Teilfolge ihrer Entwicklungskoeffizienten in 0 von der Form \[ a_{n_1},a_{n_1+1},\dots,a_{n_1+k},\dots, a_{n_i},a_{n_i+1},\dots,a_{n_i+k_i}, \dots \] bestimmt, bei der die \(n_i\) eine beliebige Teilfolge der natürlichen Zahlen sind und die \(k_i\) die Bedingung \(k_i/n_i \to \infty\) erfüllen.