Note sur la série de Lagrange. (Q1457763)

Die Note erörtert zunächst ausführlich den Umstand, daß\ die in Rede stehende Reihe in der deutschen und dänischen Literatur häufig als Bürmannsche Reihe bezeichnet, obwohl die 1796 von Bürmann dem Institut eingereichten Arbeiten von Lagrange und Legendre in den Mémoires de l'Institut ausführlich besprochen sind und hierbei auf die Priorität von Lagrange (1768) und ein verwandtes Theorem van Laplace (1777) hingewiesen wird. Die falsche Bezeichnung als ``Bürmannsche Reihe'' scheint auf ein irriges Zitat in Lacroix's Traité zurückzugehen, das dann von anderen, insbesondere Schlömilch, übernommen wurde. Des weiteren wird die Lagrangesche Reihe, also die Reihe \[ f(x)=\sum A_n (\varphi(x))^2, \] die (falls \(\sum A_nz^n\) einen positiven Konvergenzradius \(R\) hat) in der Umgebung jeder Nullstelle von \(\varphi(x)\) konvergiert und im allgemeinen Zweige verschiedener Funktionen darstellt, für den Fall \(\varphi(x)=a(x-\alpha)(x-\beta)\) oder spezieller \(\varphi(x)=x(x+1)\) genau untersucht. Als Konvergenzgebiet oder - gebiete ergeben sich hier die Lemniskaten \(| x(x+1)| <R\). Beachtet man noch, daß\ \(\varphi(x)\) ungeändert bleibt, wenn \(x\) durch \(-x-1\) ersetzt wird und daß\ die genannte Lemniskate ein oder zwei Gebiete bestimmt, je nachdem \(R>\frac 14\) oder \(\leqq \frac 14\) ist, so ergeben sich die Sätze: I. Ist \(R>\frac 14\), so genügt \(f(x)\) der Funktionalgleichung \(f(-x-1)=f(x)\). II. Genügt die in der Umgebung des einen der beiden Punkte 0 und \(-1\) dargestellte Funktion \(f(x)\) nicht dieser Funktionalgleichung, so muß\ notwendig \(R \leqq \frac 14\) sein, und die Lagrangesche Reihe stellt dann in dem andern Konvergenzgebiet einen Zweig einer andern Funktion dar. -- Ist \(f(x)\) auch in dem andern Oval regulär, so gibt es analog gebaute Entwicklungen, die (\(f(x)\) in beiden Ovalen gleichzeitig darzustellen vermögen.