Über die Darstellung analytischer Funktionen durch Potenzreihen. (Q1457766)

Eine Potenzreihe \(f(z)=\sum_{n=0}^\infty a_nz^n\) kann natürlich nirgends über den Rand ihres Konvergenzkreises konvergent bleiben; es kann aber der Fall auftreten (Jentzsch, Acta Math. 41, 1918; Verf. weist noch auf H. Bohr, Palermo Rend. 37, 1914 hin), daß\ für eine gewisse Folge \(m_k \to \infty\) die Abschnittsteilfolge \(f_{m_k}(z)=\sum_0^{m_k}a_nz^n\) noch über einen für \(f(z)\) regulären Punkt des Konvergenzkreises konvergiert, und dann zwar zusammenhängend für ein gewisses vollständiges Gebiet. In einer Reihe von Arbeiten (1921-1923) hat Verf. die hier auftretenden Zusammenhänge mit gewissen Lückeneigenschaften der gegebenen Potenzreihen (bzw. allgemeiner Dirichletscher Reihen) geklärt. das obige Referat gibt für die so gewonnenen Resultate von zum Teil endgültigem Charakter einen kurzen Überblick; für die Beweise wird auf die einzelnen Abhandlungen verwiesen.