Sur les séries d'Eisenstein. (Q1457780)

Als ``Eisensteinsche, zur Zahl \(N\) gehörige Reihe'' bezeichnet Verf. eine Potenzreihe \(a_0 + a_1x + a_2x^2+\cdots\) vom Konvergenzradius 1 mit rationalen Koeffizienten, die durch die Substitution \(x=Nx'\) ganzzahlige Koeffizienten erhält. Ist \(N\) die kleinste ganze Zahl, die diese Wirkung ausübt, so spricht man von einer Reihe \(E(N)\). Nach einem Theorem von Eisenstein ist jede Potenzreihe mit rationalen Koeffizienten, die eine algebraische Funktion darstellt, eine Reihe \(E(N)\), wenn \(N\) passend gewählt wird. Die Umkehrung gilt aber nicht, weil man nach dem Pólya-Hurwitzschen Satze den Konvergenzkreis dadurch zur natürlichen Grenze machen kann, daß\ man einer unendlichen Menge von Koeffizienten in \(E(N)\) das umgekehrte Zeichen gibt, wobei der \(E(N)\)-Charakter offenbar erhalten bleibt. Verf. beweist nun folgenden Satz: Wenn die \(E(N)\)-Reihe \(\sum a_nx^n\) außerhalb und auf dem Kreise vom Mittelpunkt \(\frac{N^2}{N^2-1}\) und vom Radius \(\frac{N}{N^2-1}\) regulär ist, so stellt sie eine Funktion von der Form \(\frac{P(x)}{(1-x)^h}\) dar, wobei \(P(x)\) ein Polynom und \(h\) eine positive ganze Zahl bedeutet.