Über einen Satz von M. Fekete. (Q1457795)

Grace und Heawood haben bewiesen (Quart. Journ. 38, 84, 1907), daß, wenn ein Polynom \(n\)-ten Grades in \(+ 1\) und \(- 1\) denselben Wert hat, seine Ableitung in einem Kreise mit dem Radius ctg \(\frac \pi n\) um 0 verschwindet. Fekete hat (1923) bewiesen, daß, wenn das Polynom in \( + 1\) und \(- 1\) zwei verschiedene Werte hat, es jeden Wert der Verbindungsstrecke dieser beiden in einem Kreise mit dem Radius ctg \(\frac{\pi}{2n}\) um 0 annimmt. In der ersten Note verschärft Fekete diese Sätze dadurch, daß\ statt des Grades des Polynoms dessen Gliederzahl \(k+1\) (= Anzahl der von 0 verschiedenen Koeffizienten) auftritt: Hat das Polynom in \(+ 1\) und \(- 1\) denselben Wert, so verschwindet seine Ableitung in einem Kreise mit dem Radius \(c \cdot k\) um 0 (\(c\) = absolute Konstante); hat es in \(+ 1\) und \(- 1\) zwei verschiedene Werte, so nimmt jeden Wert der Verbindungsstrecke dieser beiden in einem Kreise mit dem Radius \(c' \cdot k\) um 0 an (\(c'\) = absolute Konstante). Ferner werden zwei analoge Sätze für beständig konvergente Reihen der Form \[ f(x)=p_0+p_1x^{\mu_1}+p_2x^{\mu_2}+\cdots+p_k x^{\mu_k}+\cdots, \] bei denen \(\sum \mu_k^{-1}\) konvergiert, bewiesen. In der zweiten Note verallgemeinert v. Sz. Nagy den Satz von Fekete dadurch, daß\ er statt zweier spezieller Punkte \((\pm 1)\) deren \(m\) einführt: Ein Polynom \(Q(x)\) des Grades \(n\) nehme für \(k=a_1,a_2,\dots,a_m\) die Werte \(\alpha_1,\alpha_2,\dots,\alpha_m\) an. Es seien \(P\) und \(\Pi\) die kleinsten konvexen Polygone die die \(a_k\) bzw. \(\alpha_k\) einschließen, und es sei \(K\) der kleinste Kreis, aus dessen Randpunkten das Polygon \(P\) unter Winkeln \(\leqq \frac \pi n\) erscheint. Dann nimmt \(Q(x)\) jeden Wert \(\alpha\) aus \(\Pi\) in \(K\) an.