Über ein Biorthogonalsystem von Polynomen zweier Veränderlichen. (Q1457823)

Gegenbauer hat in Verallgemeinerung der Lagendreschen Polynome die Polynomen einer Veränderlichen \[ P_n(x;\alpha)=\frac{(-1)^n}{2^n \cdot n!} \frac{ \Gamma(\alpha+1) \Gamma(2\alpha+n+1)}{\Gamma(2 \alpha+1)\Gamma(\alpha+n-1)} g^{-\alpha} \frac{d^n g^{\alpha+n}}{dx^n} \] betrachtet, wo \(\alpha>-\frac 12\), \(g=1- x^2\) ist, und hat auf sie einen Teil der bekannten formalen Beziehungen übertragen. Verf. verallgemeinert in entsprechender Weise die Untersuchungen von Ch. Hermite und F. Didon betreffend ähnlicher Polynome von zwei Veränderlichen, indem er betrachtet: \[ P_{mn}(x,y;\alpha)=c_{mn}p^{-\alpha} \frac{\partial^{m+n} p^{\alpha+m+n}}{\partial x^m \partial y^n}, \] wo \[ p=1,x^2-y^2,\;c_{mn}=\frac{(-1)^{m+n}}{2^{m+n} \cdot m!n!} \frac{\Gamma(\alpha+1) \Gamma(2 \alpha+m+n+1)}{\Gamma(2\alpha+1)\Gamma(\alpha+m+n+1)} \] bedeutet.