Automorphe Funktionen. (Q1457855)

Nach einleitenden Betrachtungen über den Begriff der automorphen Funktionen und der Uniformisierung wird in Ausführlichkeit das elliptische Integral erster Gattung untersucht. Seine Uniformisierungseigenschaft wird auf dem Wege über die Jacobischen Thetafunktionen nachgewiesen und sodann werden seine Abbildungseigenschaften noch näher untersucht. Das Studium der elliptischen Modulfunktion beschließt den ersten Abschnitt. Der zweite Abschnitt ist den geometrischen Grundlagen der Theorie der automorphen Funktionen vom Grenzkreistypus gewidmet. Hier findet sich also eine,ausführliche Darlegung der auf den Einheitskreis oder die Halbebene gegründeten Kreisgeometrie und der Konstruktion diskontinuierlicher Gruppen und ihrer Fundamentalbereiche. Der dritte Abschnitt bringt auf Grund der Poincaré-schen Thetareihen den Nachweis, daß\ zu jeder mit Fundamentalbereich versehenen Gruppe automorphe Funktionen gehören. Es werden die Umkehrungsfunktionen derselben, ihre Differentialgleichungen und ihre Riemannschen Flächen untersucht und damit das Studium der Uniformisierung algebraischer Funktionen vorbereitet, der der letzte Abschnitt gewidmet ist. Der Nachweis für die Uniformisierbarkeit der algebraischen Funktionen geschieht durch konforme Abbildung der Überlagerungsfläche, die als Grenze endlichvielblättriger einfachzusammenhängender Bereiche aufgefaßt wird. Die für diesen Ansatz erforderlichen topologischen Hilfsmittel werden nur andeutungsweise und durch Literaturnachweise herangeschafft. Die konforme Abbildung der Näherungsbereiche und dann des Grenzbereiches ist vor durchgeführt. Grundlage für die Abbildung der Näherungsbereiche ist der Riemannsche Abbildungssatz für schlichte Bereiche. Von da gelangt man durch das kombinatorische Verfahren Carathéodorys zu der Abbildung der mehrblättrigen Bereiche. Der Riemannsche Abbildungssatz wird nach der F. Riess-Fejérschen Fassung des Koebeschen Schmiegungsverfahrens bewiesen. Es wird sodann an einen Gedanken Fabers anschließend die Stetigkeit der Ränderzuordnung für den Fall Jordanscher Randkurve bewiesen und einem Gedanken Lindelöfs folgend die Erhaltung der Winkeltreue in solchen Randpunkten nachgewiesen, in welchen die Randkurve eine Tangente besitzt. Auf knappem Raum ein reicher Inhalt in anregender Form und gerade auch dadurch anregend, daß\ nicht überall die letzte Eleganz der Beweisführung und der Darstellung erreicht zu sein scheint.