A system of linear equations with an infinity of unknowns. (Q1457877)

Es wird das spezielle System \[ a_0x_n+a_1x_{n+1}+\cdots=c_n;\;n=0,1,2,\dots \] ohne besondere Voraussetzungen über die \(a_n, c_n\) betrachtet; dann gelten die folgenden Sätze: I. Ist \(0<a_0 \geqq a_1 \geqq a_2 \geqq \dots\), so hat das homogene System \((c_n=0)\) für \(a_n \to a>0\) keine Lösung außer \(x_n=0\), für \(a_n \to 0\) keine sonstige Lösung mit \(x_n \to 0\). II. Ist \(0<a_0 \geqq a_1 \geqq a_2 \geqq \dots, 0<c_0 \geqq c_1 \geqq c_2 \geqq \dots,\) \[ (a_0+a_1+\cdots+a_n)c_{n+1} \to 0, \] so existiert für \(\lim a_n>0\) eine einzige Lösung, für \(\lim a_n = 0\) eine einzige mit \(x_n \to 0\). III. Ist \(0<a_0 \geqq a_1 \geqq a_2 \geqq \cdots \to 0\), \(a_na_{n+2} \geqq a_{n+1}^2\), dann hat das homogene System, außer \(x_n=0\), keine Lösung mit beschränkten \[ s_n=x_0+x_1+\cdots+x_n; \] allgemein existiert bei beschränkten \(c_0+c_1+\cdots+c_n\) eine einzige Lösung mit beschränkten \(s_n\).