Sur les fonctions permutables. (Q1457880)

\(F(x,y)\) sei irgendeine beschränkte stetige Funktion erster oder höherer Ordnung und \(m\) eine reelle Zahl. Dann gilt \[ \begin{multlined} [\overset{*}{F}^0+z(\overset{*}{F}- \overset{*}{F}^0)]^{m-1}= \\ 1-z)^{m-1} \left[ \overset{*}{F}^0+(m-1) \frac{z}{1-z} \overset{*}{F} + \frac{(m-1)(m-2)}{1.2} \left( \frac{z}{1- z} \right)^2 \overset{*}{F}^2+\cdots \right]. \end{multlined} \] Die Abhandlung ist der Aufstellung dieser Formel und der Ableitung verschiedener Anwendungen derselben gewidmet. Insbesondere wird gezeigt, daß\ \(\overset{*}{1}^m=mCu^{m-1}\) (\(C\) ist eine Konstante) und \((y \overset{*}{-}x)^{\frac 12}=1\) ist. \(F\) sei eine Funktion zweiter Ordnung. Dann ist \[ F(x,y)=(y-x)f_0(x,y) \] und \(f_0\) ist erster Ordnung. Ferner ist dann \[ \overset{*} {F}^h(x,y)=\frac{(y-x)^{2h-1}}{(2h-1)!} f_{h-1}(x,y) \] und \(f_{h-1}\) ist erster Ordnung. Wenn dabei \(\overset{*}{F}^{\frac 12}\) existiert \[ \overset{*}{F}^{\frac 12} = \lim_{z=1} \left\{ \left[ \overset{*}{1}^0+z(\overset{*}{F} - \overset{*}{1}^0 \right]^{\frac 12} - (1-z)^{\frac 12} \overset{*}{1}^0 \right\} \] ist, so gilt \[ \overset{*}{F}^{\frac 12}=\int_0^\infty J(\xi\mid x,y)d \xi \;\text{mit}\;J(\xi\mid x,y)=\sum_0^\infty (-1)^h \frac{\left( \frac \xi 2 \right)^{2h}}{(h!)^2} f_h(x,y). \] Die Formel gilt noch, wenn die Ordnung von \(f_0\) größer als 1 ist. In analoger Weise läßt sich \(\overset{*}{F}^{\frac 1n}\) (\(n\) ganz) berechnen. Wenn \(n\) ganz ist, so ist jede mit \(\overset{*}{F}^{\frac 1n}\) vertauschbare Funktion mit \(\overset{*}{F}\) vertauschbar. Am Schluß\ stellt Verf. die noch ungelöste Frage: Ist die Umkehrung richtig, d. h. ist jede mit \(\overset{*}{F}\) vertauschbare Funktion auch mit \(\overset{*}{F}^{\frac 1n}\) vertauschbar?