Une formule d'itération de certains noyaux singuliers. (Q1457883)

Das Problem, eine Potentialfunktion \(V(x,y)\) zu bestimmen, die auf dem Rande des Gebietes eine Bedingung \(a \frac{\partial V}{\partial s}+b \frac{\partial V}{\partial n}+cV=f\) erfüllt, läßt sich auf eine Integralgleichung zurückführen, in welcher das Integral als Cauchyscher Hauptwert zu nehmen ist. Diese Integralgleichung kann man dann durch eine Iterationsformel auf eine gewöhnliche zurückführen. Zweck der Note ist einen neuen Beweis dieser von Poincaré, vom Verf. und von F. Tricomi schon bewiesenen Formel zu geben. \(f(x,y,z)\) sei mit ihren ersten Ableitungen stetig und in bezug auf jede Variable periodisch mit der Periode \(\pi\). Dann gilt die Iterationsformel \[ \begin{multlined} \int_0^{\pi'} \text{cot}(y-x)dy \int_0^{\pi'}\text{cot}(z- y)f(x,y,z)dz \\ =-\pi^2 f(x,y,z)+\int_0^\pi dz \int_0^{\pi'} \text{cot}(y- x)\text{cot}(z-y) f(x,y,z)dy. \end{multlined} \] Das Symbol \(\int'\) bedeutet den Cauchyschen Hauptwert des Integrales. Am Schluß\ wird eine Anwendung auf die Integralgleichung \[ f(x)=\int_0^{\pi'}K(x,y)\text{cot} (y-x)f(y)dy+\psi(x) \] gemacht, in welcher die Funktionen als periodisch vorausgesetzt sind.