Sur le prolongement des fonctionnelles semi-continues. (Q1457887)

Unter einer Klasse \((H)\) wird jede Klasse von Elementen verstanden, in welcher die Ableitung der Mengen den folgenden Bedingungen genügt: 1. \((E_1+E_2)'=E_1'+E_2'\); 2. eine endliche Menge hat eine leere Ableitung; 3. jede abgeleitete Menge ist abgeschlossen. Es gilt dann der Satz: \(E\) sei ein Elementenfeld in einer Klasse \((H)\) und \(A(s)\) ein in \(E\) nach unten halbstetiges Funktional. Im Felde \(E + E'\) gibt es dann mindestens ein nach unten halbstetiges Funktional, das mit \(A(s)\) auf \(E\) zusammenfällt. Das am wenigsten unstetige unter diesen Funktionalen ist dasjenige, welches für jedes Element \(s_0\) von \(E'\) gleich ist dem Minimum von \(A(s)\) in \(s_0\) auf \(E\), d. h. gleich der oberen Schranke der unteren Schranken von \(A(s)\) in den Elementen von \(E\), die zu einer variablen Umgebung von \(s_0\) gehören. Eine Anwendung läßt sich auf die Definition des Oberflächeninhaltes einer Fläche geben. \(E\) sei das Feld der Polydralflächen und \(F\) das allgemeinere Feld aller Flächen. Der elementargeometrisch definierte Flächeninhalt ist ein in \(E\) nach unten halbstetiges Funktional. Auf Grund des obigen Satzes ließe sich dann der Flächeninhalt in \(F\) als das am wenigsten unstetige Funktional definieren, unter allen in \(F\) nach unten halbstetigen Funktionalen, die in \(E\) mit dem elementargeometrischen Flächeninhalt zusammenfallen. Hinweise auf Arbeiten des Verf. in Annales soc. math. polonaise (1924) und Nouvelles Annales de Math. (1924).