A general type of singular point. (Q1457913)

Es handelt sich um solche singulären Stellen einer linearen Differentialgleichung zweier Gleichung zweiter Ordnung, welche sich durch ihr Verhalten der Liouvilleschen Transformation gegenüber auszeichnen. Durch die genannte Transformation soll ein gewisser Teil \(D\) von der Umgebung der in der \(z\)-Ebene gelegenen singulären Stelle konform auf eine Halbebene \(\mathfrak R(Z)>A\) abgebildet werden. Ferner soll in der transformierten Gleichung \[ (1)\quad \frac{d^2W}{dZ^2}+H(Z)W=0 \] die Funktion \(H(Z)\) für \(\mathfrak R(Z)>A\) regulär-analytisch sein und genügend schnell gegen einen nicht negativ reellen Grenzwert \(a^2\) konvergieren, wenn \(Z\) in gewisser Weise unendlich wird. Dann wird gezeigt, daß\ die Lösungen von (1) sich in der Halbebene \(\mathfrak R(Z)>A\) in einer ganz bestimmten Weise an die Lösungen von \[ (2)\quad \frac{d^2W}{dZ^2}+a^2W=0 \] anschmiegen. Hierdurch wird die asymptotische Integration der gegebenen Differentialgleichung in dem Bereiche \(D\) gewonnen, sogar mit konvergenten Reihenentwicklungen. Insbesondere kann man hiervon die asymptotische Nullstellenverteilung der Lösungen im \(D\) ablesen. Einige Spezialfälle werden kurz gestreift.