On the mean value theorem corresponding to a given linear homogeneous differential equation. (Q1457914)

Es sei \[ Lf(x) \equiv \sum_{k=0}^n \varphi_k(x)f^{(n-k)}(x), \] \(\varphi_0(x)\equiv 1\), \(\varphi_k(x)\) stetig, \(f(x)\) \(n\)-mal differentierbar. Der Verf. sagt, die Differentialgleichung \(Ly = 0\) habe die Eigenschaft \(W\) in einem offenen Intervalle \((a,b)\), wenn sie \((n-1)\) linear unabhängige Lösungen \(h_1(x),h_2(x),\dots,h_{n-1}(x)\) hat, so daß\ \(h_1>0\), \(W(h_1,h_2)>0,\dots,W(h_1,h_2,\dots,h_{n-1})>0\) für \(a<x<b\), wo \(W(h_1,\dots,h_k)\) die Wronskische Determinante von \(h_1,\dots,h_k\) bezeichnet. In einem solchen Intervalle gelten die folgenden Sätze: I. Wenn \(f(x)=0\) ist für \((n+1)\) (verschiedene oder zum Teil zusammenfallende) Werte von \(x\) in \((a,b)\), dann gibt es ein \(\xi\) in \((a,b)\) mit \(Lf(\xi)=0\). II. Es gibt eine und nur eine Lösung \(H(x)\) von \(Ly=0\), die den Bedingungen \(H(x_k)=c_k\) \((k=1,2,\dots,n)\) genügt, wo \(a<x_k<b\) und die \(c_k\) gegebene Konstanten sind. III. Es sei \(LH(x)=0\), \(H(x_k)=f(x_k)\); \(LN(x)=1\) und \(N(x_k)=0\) \((k=1,2,\dots,n)\). Dann gibt es ein \(\xi=\xi(x)\) in dem kleinsten Intervalle, das die Punkte \(x_k\) und \(x\) enthält, mit \(f(x)=H(x)+N(x)Lf(\xi)\). Diese Sätze enthalten den Rolleschen und den Taylorschen Lehrsatz, ferner die Interpolationsformel mit Restglied in dem speziellen Fall, wenn \(Lu=\frac{d^nu}{dx^n}\) ist. Der Verf. gibt weiter eine Fülle sehr interessanter Anwendungen dieser und anderer Sätze.