On certain approximate solutions of linear differential equations of the second order. (Q1457919)

Sucht man die Differentialgleichung \[ \frac{d^2y}{dx^2}-[h^2 \chi_0(x)+h \chi_1(x)+\chi_2(x)]y=0 \] formal durch den Ansatz zu integrieren \[ y=\varphi(x)e^{hw(x)} \left( 1+\frac{f_1(x)}{h}+\frac{f_2(x)}{h^2}+\cdots \right), \] so findet man: \[ w(x)=\pm \int \sqrt{\chi_0(x)}dx,\;\varphi(x)=\frac{1}{\root 4\of{\chi_0(x)}} e^{\pm \int \frac{\chi_1(x)}{2 \sqrt{\chi_0(x)}} dx}. \] Somit erhält man näherungsweise das Integral \[ y=\frac{1}{\root 4\of{\chi_0(x)}} e^{\pm \int \left( h \sqrt{\chi_0(x)}+\frac{\chi_1(x)}{2 \sqrt{\chi_0(x)}} \right) dx}, \] oder, indem man es durch \(\sqrt h\) dividiert und \[ h^2 \chi_0(x)+h \chi_1(x)+\chi_2(x)=\chi(x) \] setzt, mit einem weiteren Fehler der Ordnung \(O(h^{-1})\) im Exponenten von \(e\): \[ y=\frac{1}{\root 4\of{\chi(x)}} e^{\pm \int \sqrt{\chi(x)}dx}. \] Inwieweit diese Ausdrücke wirklich als Näherungen von Integralen angesehen werden dürfen, wird nicht strenge untersucht. Beispiele.