Sur une équation différentielle fonctionnelle. (Q1457961)

Verf. untersucht im komplexen Gebiet die folgende funktionelle Verallgemeinerung einer gewöhnlichen linearen Differentialgleichung erster Ordnung: \[ f'(x)=a(x) f \left( \frac x \sigma \right)+b(x); \] \(a(x),b(x)\) und \(\sigma\) (= konst.) sind gegeben, \(| \sigma| \geqq 1\). Es sei \(D\) ein \(x\)-Gebiet das \(\sigma^{-1}D\) ganz enthält; sind \(a(x)\) und \(b(x)\) in \(D\) holomorph, so existiert in \(D'\) zu jedem vorgeschriebenen Aufangswert \(c_0\) eine holomorphe Lösung \(f(x)\) mit \(f(0)=c_0\); der Beweis ist mittels sukzessiver Approximationen zu führen. Ist \(C\) eine Kurve in \(D\), die nach 0 gerichtet ist und \(\sigma{-1}C\) enthält, so kann es keine weiteren Lösungen geben, die gegen \(c_0\) konvergieren, wenn auf \(C\) nach 0 geht. Sind \(a(x)\) und \(b(x)\) ganz, so sind es auch alle jene \(f(x)\); besitzen \(a(x)\) und \(b(x)\) Pole in endlicher Entfernung vom (regulären) Nullpunkt, so reproduzieren sich diese Pole in den \(f(x)\). Ist insbesondere \(a(x)\) ganz und \(b(x)\) mit einem ein fachen Pol \(x_0\neq 0\) behaftet, und ist noch \(| \sigma| >1\), so hat man \[ f(x)=\varphi(x)+\sum_{\nu=0}^\infty \varphi_\nu(x) \left[ \log \left(1-\frac{x}{\sigma^\nu x_0} \right)-P_\nu(x)\right], \] mit passenden konvergenzerzeugenden Polynomen \(P_\nu(x)\) und ganzen \(\varphi(x),\varphi_\nu(x)\); ein analoges Resultat besteht für den Fall eines \(x_0\)-Pols \(p\)-ter Ordnung, nur hat dann \(\varphi(x)\) einen Pol \((p-1)\)-ter Ordnung in \(x_0\), \((p-2)\)-ter Ordnung in \(\sigma x_0,\dots\), einfachen Pol in \(\sigma^{p- 2}x_0\). Ähnliche Resultate bestehen für begrenzte Regularitätsbereiche \(D\) der oben gegebenen Art. Indessen kann man beim betrachteten Problem a priori noch andere Lösungen erwarten, die keine Analoga mit dem klassischen Fall \(\sigma=1\) bieten; z. B. bei ganzem \(a(x)\) und einfachem Pol \(x_0\) für \(b(x)\) ein in \(x_0\) reguläres \(f'(z)\) und singuläres \(f \left( \frac x \sigma \right)\), woraufhin 0 wesentlich singulär für \(f(x)\) wird, mit den benachbarten Polen \(\sigma^{-1}x_0\) (einfach),\(\dots,\sigma^{-\nu}(x_0)\) (\(\nu\)-fach),\(\dots\); unter gewissen Einschränkungen für \(a(x), b(x)\) existieren solche Lösungen tatsächlich.