Les modules de formes algébriques et la théorie générale des systèmes différentielles. (Q1457977)

Der Verf. setzt hier die Untersuchungen seiner These (F. d. M. 47, 1919 (JFM 47.1919.*)-20, 440) fort und entwickelt seine Theorie der Moduln von Monomen in der Richtung weiter, daß\ sie nicht bloß, wie in der Thèse, auf die besonders von Riquier behandelten Systeme von partiellen Differentialgleichungen anwendbar ist, sondern auch auf Cartans Theorie der Systeme von Pfaffschen Gleichungen. Für jedes System \((F)\) von \(m\) linear unabhängigen Formen \(p\)-ter Ordnung in \(x_1,\dots,x_n\) definiert der Verf. \(n\) Zahlen \(\sigma_1,\dots,\sigma_n\). Dabei ist \(m+\sigma_1\) die Zahl der linear unabhängigen Formen, die man erhält, wenn man zu \((P)\) alle nicht von \(x_1\) freien Monome hinzufügt, \(m+\sigma_1+\sigma_2\), wenn man auch noch alle nicht von \(x_2\) freien Monome hinzufügt, usw. Ist \((F')\) das System \((\nu+1)\)- ter Ordnung, das entsteht, wenn man jede Form von \((F)\) der Reihe nach mit \(x_1,\dots,x_n\) multipliziert, so gehören ebenso zu \((F')\) die Zahlen \(\sigma_1',\dots,\sigma_n'\). Der Verf. zeigt nun, daß\ \(\sigma_1'+\cdots+\sigma_n' \leqq \sigma_1+2\sigma_2+\cdots+n \sigma_n\). Herrscht hier immer Gleichheit, so wird immer: \[ \sigma_1^{(\lambda+1)}+\cdots+\sigma_n^{(\lambda+1)} = \sigma_1^{(\lambda)}+2\sigma_2^{(\lambda)}+\cdots +n \sigma_n^{(\lambda)}\;(\lambda=0,1,\dots), \] wo die Zahlen \(\sigma_k^{(\lambda)}\) zu dem aus \((F)\) hergeleiteten Systeme \((F^{(\lambda)})\) vom Grade \(p+\lambda\) gehören. Es ist ferner: \(\sigma_k'=\sigma_n+\sigma_{n-1}+\cdots+\sigma_k\) und \(\sigma_1 \geqq \sigma_2 \geqq \cdots \geqq \sigma_n\). Die Zahl der linear unabhängigen unter den Formen \((F^{(\lambda)})\) ist: \[ \Gamma_n^{p+\lambda}-\left\{ \sigma_1+\sigma_2 \Gamma_2^\lambda+\cdots+\sigma_n \varGamma_n^\lambda \right\}, \] wo: \[ \Gamma_n^p=\frac{(p+1)(p+2)\cdots (p+n-1)}{1 \cdot 2 \cdots (n-1)} . \] Endlich bleiben die Zahlen \(\sigma_1,\dots,\sigma_n\) bei jeder linearen homogenen Transformation der \(x_\nu\) erhalten, und es ist: \(\sigma_1 \geqq \sigma_2 \geqq \cdots \geqq \sigma_n\). Das ist sein Fundamentaltheorem. Um diesen Satz zu beweisen, gibt der Verf. eine neue Definition der \(\sigma_{k}\), die auf der in seiner Thèse aufgestellten Einteilung der Monome in \(n\) Klassen beruht. Es ist nämlich \(\sigma_n+\cdots+\sigma_k\) nichts andres als die Differenz zwischen der Zahl aller Monome \(n\)-ter,\(\dots\),\(k\)-ter Klasse, vermindert um die der linear unabhängigen, aus Monomen dieser Klassen zusammengesetzten Ausdrücke, die in \((F)\) enthalten sind. Er ersetzt ferner die in Formen von \((F)\) durch in lineare Kombinationen \((\Phi)\), die in \(n\) Klassen zerfallen, und zwar derart, daß\ die Formen der \(k\)-ten Klasse keine Monome \(n\)-ter,\(\dots\),\((k + 1)\)-ter Klasse enthalten und linear unabhängig sind in bezug auf die in ihnen vorkommenden Monome \(k\)-ter Klasse. Indem er dann jedes \((\Phi)\) der \(k\)-ten Klasse der Reihe nach mit \(x_1,\dots,x_k\) multipliziert, erhält er aus \((\Phi)\) ein System \((\Phi_1')\) von Formen \((p+1)\)-ten Grades. Die Gleichung \(\sigma_1'+\cdots+\sigma_n'=\sigma_1+\cdots+n \sigma_n\) kommt nunmehr darauf hinaus, daß\ jede Form des Systems \((F')\) schon aus den \((\Phi_1')\) durch lineare Kombination ableitbar ist und daß\ auch das Umgekehrte gilt. Der Verf. sagt dann, daß\ das System \((F)\) involutorisch ist (est en involution). Er beweist, daß\ immer, wenn \((F)\) involutorisch ist, auch \((F')\) es ist, also auch \((F''),\dots\). Ferner, daß\ dann \((F)\) bei jeder linearen homogenen Transformation in ein involutorisches System übergeht. Auf Grund der in der Thèse eingeführten Anordnung der Monome zeigt er noch, daß\ den in Formen \((\Phi)\) in bestimmte Monome \((M)\) zugeordnet sind, und zwar kann man es so einrichten, daß\ jede Form \((\Phi)\) das ihr zugeordnete Monom \(M\) enthält, sonst aber nur solche Monome, die diesem vorausgehen. Die Monome \((M)\) bilden ihrerseits ein involutorisches System. Kennt man alle involutorischen Systeme von Monomen \(p\)-ter Ordnung in \(n-1\) Veränderlichen, so kann man alle involutorischen Systeme von Monomen \(p\)-ter Ordnung in \(n\) Veränderlichen aufstellen. Bildet man aus einem beliebigen Systeme \((F)\) die Systeme \((F'),(F''), \dots\), so gelangt man stets nach einer endlichen Zahl von Schnitten zu einem involutorischen Systeme. Ich muß\ hier darauf verzichten, das wiederzugeben, was die Arbeit sonst noch enthält. Es genüge, zu erwähnen, daß\ der Verf. auf neue Weise einen Satz ableitet, den Cartan 1904 bewiesen hat, und der sich auf die Anzahl der willkürlichen Elemente bezieht, die in der allgemeinsten Lösung eines gewissen Gleichungssystems auftreten. Hierin und in einer neuen Fassung, die der Verf. seinem Fundamentaltheoreme gibt, erkennt man die Anwendbarkeit seiner Untersuchungen auf partielle Differentialgleichungen und Pfaffsche Systeme.