Une remarque sur l'intégrale de Poisson. (Q1457986)

\(f(x)\) sei eine periodische Funktion, von der Periode \(2\pi\). Das Poissonsche Integral \[ I(r,x)=\frac{1}{2\pi} \int_0^{2\pi} f(x+\alpha) \frac{1- r^2}{1-2r \cos \alpha+r^2} d \alpha \;(0<r<1) \] läßt sich in der Form \[ I(r,x)=\frac 1\pi \int_{-\infty}^\infty f \left( z+t \log \frac 1r \right) \frac{dt}{1+t^2} \] darstellen. Aus dieser Darstellung läßt sich schließen, daß, wenn \(f(x)\) stetig ist, die Annäherung von \(f(x)\) durch \(I(r,\alpha)\) von der Ordnung \[ \omega \left( \log \frac 1r \right) \log \frac{1}{\omega \left( \log \frac 1r \right)} \] ist, wobei \(\omega(\varepsilon)\) den Stetigkeitsgrad von \(f(x)\) bedeutet. Genügt \(f(x)\) der Lipschitzschen Bedingung \(| f(x+t)- f(x)| <kt^\alpha\), \(0<\alpha<1\), so gilt \[ | I(r,x)-f(x)| <\frac{k \left( \log \frac 1r \right)^\alpha}{\pi} \int_0^\infty \frac{t^\alpha dt}{1+t^2}. \] Betrachtet man statt \(I(r,x)\) das Integral \[ I_1(r,x)=\frac 2\pi \int_{-\infty}^\infty f \left( x+t \log \frac 1r \right) \frac{dt}{(1+t^2)^2} \] so ist die Annäherung der Funktion von einer Ordnung \(\leqq \omega \left( \log \frac 1r \right)\). Wenn die Funktion der Lipschitzschen Bedingung mit \(\alpha = 1\) genügt, so ist \[ | I_1(r,a_1-f(x)| <\frac{2k}{\pi} \log \frac 1r. \] \(I_1(r,x)\) hat die trigonometrische Entwicklung \[ I_1(r,x)=A_0+\sum_1^\infty \left( 1+n \log \frac 1r \right) A_mr^n, \] wenn \(\sum A_n\) die Fourierentwicklung von \(f(x)\) ist.