Application de la notion du prolongement des fonctionnelles à l'étude de l'existence de la solution du problème de Dirichlet harmonique. (Q1457987)

Ausgehend von der Tatsache, daß\ das Dirichletsche Problem durch die Fredholmsche Theorie gelöst werden kann, wenn die Begrenzung des Bereiches in jedem Punkt eine Tangentialebene und zwei endliche Hauptkrümmungen existieren (regulärer Punkt), sucht der Verf. allgemeinere Fälle dadurch zu behandeln, daß\ er das Funktional des Problems in seiner Abhängigkeit des Bereiches untersucht. Ein Punkt \(P\) der Begrenzung ist ein gewöhnlicher Punkt, wenn es für jede stetige Wertverteilung auf dem Rande im Inneren des Gebietes eine Potentialfunktion existiert, die längs jeder in \(P\) endenden und innerhalb des Gebietes laufenden Kurve gegen den Wert der Verteilung in \(P\) strebt. Ist \(P\) kein gewöhnlicher Punkt, so heißt er ein Ausnahmepunkt. Läßt man zu, daß\ die Randbedingung in den irregulären Punkten oder in den irregulären Kurven nicht erfüllt zu sein braucht, so wird gezeigt, daß\ das Dirichletsche Problem immer eine eindeutig bestimmte Lösung besitzt, wenn man verlangt, daß\ diese Lösung im Bereiche beschränkt bleibt. Die regulären Punkte sind nie Ausnahmepunkte. Unter den irregulären Punkten kann es Ausnahmepunkte geben. Es sei \(M_1\) ein irregulärer Punkt des Randes, der isoliert ist oder zu einem aus irregulären Punkten bestehenden Bogen des Randes gehört. Zu diesem Punkt gehört ein Büschel von Halbstrahlen, das auf die folgende Weise konstruiert werden kann. Es sei \(M'\) irgend ein innerer Punkt des Bereiches. Wenn \(M' \to M\), hat der Strahl \(M_1M'\) eine oder mehrere Grenzlagen. Die Gesamtheit aller dieser Grenzlagen, wenn \(M'\) in irgend einer Weise gegen \(M_1\) strebt heißt der zu dem Punkt \(M_1\) gehöriger Kegel. Betrachten wir den Komplementärkegel und die Punktmenge \(E\), die er auf einer Kugel um \(M_1\) schneidet. \(M_1\) ist sicher kein Ausnahmepunkt, wenn \(E\) innere Punkte besitzt oder wenn \(E\) einen Kurvenbogen enthält. Eine hinreichende und notwendige Bedingung, damit \(M_1\) Ausnahmepunkt sei, ist die folgende: Wenn \(\iint \frac{\partial G(A,M)}{\partial n}d \sigma)M\) auf den Rand des Bereiches mit Ausnahme einer Umgebung von \(M_1\) erstreckt wird, so soll \(M_2\) nicht gegen Null streben, wenn der innere Punkt \(A\) gegen \(M_1\) strebt.