Über einen Satz der Wahrscheinlichkeitsrechnung. (Q1458025)

Ein Ereignis \(E\), das die Wahrscheinlichkeit \(p\) besitzt, sei unter den \(n\) ersten von unbegrenzt vielen, voneinander unabhängigen Versuchen \(m(n)\)-mal aufgetreten. Für den absoluten Wert der Abweichung \(\mu(n)=m(n)-p \cdot n\) soll der asymptotische Verlauf bestimmt werden, genauer: Es werde eine Funktion \(\chi(n)\) folgender Art gesucht: zu jedem \(\varepsilon>0\) gibt es eine solche natürliche Zahl \(n_0=n_0(\varepsilon)\), daß\ man mit einer Wahrscheinlichkeit \(>1-\varepsilon\) zweierlei behaupten darf: \[ \begin{matrix} \l \qquad & \l\;&\l\\ 1.\qquad &\text{für alle}\;n>n_0 \;\text{ist}\;&\left| \frac{\mu(n)}{\chi(n)} \right| <1+\varepsilon\\ \\ 2.\quad &\text{für ein gewisses}\;n>n_0 \;\text{ist}\;&\left| \frac{\mu(n)}{\chi(n)} \right| >1- \varepsilon.\end{matrix} \] Es gelingt Verf., diese Frage vollständig zu beantworten und zu beweisen, daß\ (mit \(q=1-p\)) \[ \chi(n) \sim \sqrt{2pqn \text{lg lg}n} \] ist. Als Anwendung auf die Theorie der dyadischen Brüche ergibt sich dann noch mit \(p=q=\frac 12\): Unter den \(n\) ersten Ziffern der Dualbruchentwicklung einer Irrationalzahl \(x\) soll die 0 \(m(n)\)-mal auftreten. Man bezeichne mit \(\mu(n)\) die Differenz \(m(n)-\frac n2\). Dann ist für fast alle \(x\) \[ \overline{\lim_{n \to \infty}} \frac{| \mu(n)| }{\sqrt{\frac{n \text{lg lg} n}{2}}}=1, \] während Hardy und Littlewood [Acta math. 37 (1914), 180-190] (für fast alle \(x\)) nur hatten beweisen können: \[ \overline{\lim_{n \to \infty}} \frac{| \mu(n)| }{\sqrt n}=+\infty \;\text{und}\;\overline{\lim_{n \to \infty}} \frac{| \mu(n)| }{\sqrt{n \log n}} \leqq \frac{1}{\sqrt 2}. \] Es ist also durch den Verf. hier ein völlig abschließendes Resultat erzielt worden.