Sur un problème de probalités. (Q1458026)

In Verallgemeinerung eines Bertrandschen Problems (mit \(n = 4\)) und unter beiläufiger Korrektur einiger der betreffenden Bertrandschen Formeln wird die folgende Frage behandelt: Es werden \(n\) zu erwartenden Ereignisse \(E_1,\dots,E_n\) gleichzeitiger oder konsekutiver Natur betrachtet, die in günstige und ungünstige eingeteilt sind. Es werden \(m=p+q\) von ihnen in beliebiger Reihenfolge gewählt; \(z_{pq}\) sei die Wahrscheinlichkeit dafür, daß\ die \(p\) ersten günstig, die \(q\) späteren ungünstig sind; \(z_{pq}\) sei von der Reihenfolge der getroffenen Wahl unabhängig, dagegen soll die spätere Hinzuwahl eines neuen Elementes oder mehrerer die neuen Wahrscheinlichkeiten beeinflussen dürfen. Wie läßt sich nun \(z_{pq}\) allgemein 1) durch die \(z_{p0}=x_0\), 2) durch die \(z_{0q}=y_q\), 3) durch die \(t_p=z_{p,n-p}\) ausdrücken? Man findet mit den Binomialkoeffizienten: \[ \begin{aligned} (1)\quad z_{pq}&=\sum_{k=0}^q(-1)^k C_q^k x_{p+k}=\sum_{k=0}^p (-1)^k C_p^q y_{q+k}=\sum_{k=0}^{n-m} C_{n-m}^k t_{p+k};\\ (2)\quad x_p&=\sum_{k=0}^{n=p} C_{n-p}^k t_{p+k},\;y_p=\sum_{k=0}^{n=p} C_{n-p}^k t^k;\qquad (3)\quad 1=\sum_{k=0}^n C_n^k t_k.\end{aligned} \] Eine apriorische Festsetzung der \(x_p\) bzw. \(y_q\) ist erschwert durch die Notwendigkeit der Entstehung von lauter positiven \(z_{pq}\); dagegen scheint die Wahl der positiven \(t_k\), außer der einfach zu erfüllenden Bedingung (3), keinerlei weiteren Beschränkungen unterworfen zu sein.