Über die Bedeutung des Axioms von Pasch für die linearen Anordnungsaxiome. (Q1458091)

Dem Verf. gelingt es, die Hilbertschen Axiome der Anordnung (II 1-4) erheblich zu reduzieren. Er zerlegt 2 und 3 in je zwei Aussagen und operiert mit der folgenden Fassung der Axiome (das Symbol \(ABC\) bezeichnet drei in einer Geraden liegende Punkte, von denen \(B\) zwischen \(A\) und \(C\) liegt): Aus \(ABC\) folgt \(CBA\) und umgekehrt (1). Zu \(A\) und \(C\) gibt es \(B\), so daß\ \(ABC\) (2a) und \(D\), so daß\ \(ACD\) (2b). Von den drei Relationen \(BAC,ABC,ACB\) besteht mindestens eine (3a) und höchstens (3b). Es seien \(A,B,C\) drei nicht in einer Geraden liegende Punkte und es sei \(a\) eine Gerade in der Ebene der Punkte \(A, B, C\), die keinen der Punkte \(A, B, C\) trifft; wenn es auf \(a\) einen Punkt \(F,AFB\), gibt, so gibt es auf \(a\) auch mindestens einen der Punkte \(D\) und \(E\): \(BDC\), \(AEC\) (4'). (Das von Verf. an dieser Stelle gebrauchte ``entweder -- oder'' ist irreführend). 4' wird mit der Hilbertschen Fassung von 4 identisch, wenn 1 gilt. Verf. zeigt: Den Hilbertschen Axiomen 1-4 sind die voneinander unabhängigen Axiome 2b, 3b, 4' logisch äquivalent. Schließlich behandelt Verf. die Axiome der linearen Anordnung. Er fügt zu 1-3 den Punkte auf linearen Anordnung. Er fügt zu 1-3 den Vierpunktesatz \(V\) (je vier Punkte auf einer Geraden lassen sich ordnen) hinzu und zeigt, daß\ dadurch 3a entbehrlich gemacht wird und daß\ 1, 2a, 3b und \(V\) ein vollständiges System unabhängiger Axiome der linearen Anordnung bilden.