Über die elementaren Anordnungssätze der Geometrie. (Q1458098)

Einheitliche, nur mit den Axiomen der Anordnung und Verknüpfung operierende Darstellung der wichtigsten Anordnungssätze der euklidischen und der hyperbolischen Geometrie. Verf. geht aus von der Hilbertschen Fassung dieser Axiome (Grundlagen der Geometrie, 5. Aufl., 3-5 (1922)) und behandelt zunächst die lineare Anordnung, um zum Hauptsatz (die Punkte auf einer Geraden bilden eine geordnete Menge) zu gelangen. Der Transitivitätssatz (aus \(ABC\) und \(ACD\) folgt \(BCD\)) ist, wie am Beispiel gezeigt wird, von den drei Axiomen der linearen Anordnung unabhängig und kann nur mit Hilfe des Dreiecksaxioms bewiesen werden. Aus dem Transitivitätssatz und drei weiteren Sätzen dieser Art, die z. T. in Anlehnung an die Darstellung von E. H. Moore [American M. S. Trans. 3, 142-158 (1902); F. d. M. 33, 487 (JFM 33.0487.*)] bewiesen werden, wird zunächst der Vierpunktesatz (vier Punkte auf einer Geraden lassen sich ordnen) gefolgert. Aus diesem sowie aus der Tatsache, daß\ die Gerade durch jeden Punkt in zwei getrennte Halbstrahlen zerlegt wird, ergibt sich der Hauptsatz. Die Untersuchung der ebenen Anordnung beginnt mit der Zerlegung der Ebene durch eine Gerade und durch einen Winkel. Bei der Behandlung der (ebenen einfachen) Polygone bildet der folgende Satz das wichtigste Hilfsmittel: Sind \(A\) und \(B\) Punkte derselben Seite eines Polygons \(S\) und ist \(a\) eine durch \(A\) gehende Gerade, so läßt sich auf mindestens einem von \(A\) ausgehenden Halbstrahl der Geraden \(a\) ein Punkt \(C\) so bestimmen, daß\ auf den Strecken \(AC\) und \(BC\) kein von \(A\) und \(B\) verschiedener Punkt von \(S\) gelegen ist. Aus diesem Satz folgt unmittelbar, daß\ ein offenes Polygon die Ebene nicht zerlegt. Der Beweis des Jordanschen Satzes für geschlossene Polygone operiert mit einer elementargeometrischen Definition der Ordnung [in der Arbeit unzweckmäßig als Kroneckersche Charakteristik bezeichnet] eines Punktes in bezug auf ein geschlossenes Polygon. Diese Definition ergibt sich unmittelbar aus dem von A. Winternitz [Math. Zeitschr. 1, 329-340 (1918); F. d. M. 46, 830 (JFM 46.0830.*)] gegebenen Beweis des Jordanschen Polygonsatzes. Als Anwendung werden einige Sätze über Polygone bewiesen. Bei der räumlichen Anordnung wird nur der einfachste Fall, die Zerlegung des Raumes durch eine Ebene, behandelt.